Question

Знайдіть суму. Срочно, даю максимум баллов. Прошу нету времени.​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle S = \frac{2022}{2023}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle S =\frac{2}{1\cdot 3} + \frac{2}{3\cdot 5} + \ldots + \frac{2}{2021\cdot 2023}$

$\displaystyle S =2\bigg (\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} + \ldots + \frac{1}{2021\cdot 2023} \bigg )$

Заметим что

$\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{2} \cdot\bigg (1-\frac{1}{3} \bigg) \\\\\\\frac{1}{3\cdot 5}= \frac{1}{2}\cdot \bigg (\frac{1}{3} -\frac{1}{5} \bigg ) \\\\ \ldots \\\\\frac{1}{2021\cdot 2023} = \frac{1}{2}\cdot \bigg(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2023} \bigg )$

Таким образом мы можем вынести  1/2 , и все  сократится  кроме

первого и последнего числа

$\displaystyle S=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \bigg (1-\bigg /\!\!\!\!\!\frac{1}{3} + \bigg /\!\!\!\!\!\frac{1}{3}-\bigg /\!\!\!\!\!\frac{1}{5} ~ + \ldots +~\bigg /\!\!\!\!\!\!\!\!\!\frac{1}{2019}-~\bigg /\!\!\!\!\!\!\!\!\!\frac{1}{2021} +~ \bigg /\!\!\!\!\!\!\!\!\!\frac{1}{2021} -\frac{1}{2023} \bigg ) \\\\\\ S = 1\bigg(1-\frac{1}{2023} \bigg) =\frac{2022}{2023}$