Question

Найти высоты треугольника со сторонами 8,10,12.

Answer 1

Ответ:

Высоты треугольника равны $\displaystyle \frac{5\sqrt{7} }{2},\;\;\;\frac{15\sqrt{7} }{4},\;\;\; 3\sqrt{7}.$

Объяснение:

Найти высоты треугольника со сторонами 8, 10, 12.

Дано: ΔАВС.

АВ = 8; ВС = 10; АС = 12.

АК, ВЕ, СН - высоты.

Найти: АК, ВЕ, СН.

Решение:

1. Рассмотрим ΔАВЕ и ΔЕВС - прямоугольные.

Пусть АЕ = х, тогда ЕС = 12 - х.

По теореме Пифагора выразим ВЕ из каждого треугольника.

ΔАВЕ :

ВЕ² = АВ² - АЕ² = 64 - х²    (1)

ΔЕВС:

ВЕ² = ВС² - ЕС² = 100 - (12 - х)²=100 - 144 + 24х - х² = -х² + 24х - 44    (2)

Приравняем (1) и (2):

64 - х² = -х² + 24х - 44

24х = 108     |:24

$\displaystyle x=\frac{9}{2}$

$\displaystyle BE^2=64-\frac{81}{4}=\frac{256-81}{4}=\frac{175}{4}\\ \\ BE=\frac{5\sqrt{7} }{2}$

2. Рассмотрим ΔНВС и ΔАНС - прямоугольные.

Пусть НВ = z, тогда AH = 8 - z.

По теореме Пифагора выразим HC из каждого треугольника.

ΔHBC:

HC² = BC² - BH² = 100 - z²    (1)

ΔAHС:

HC² = AС² - AH² = 144 - (8 - z)²=144 - 64 + 16z - z² = -z² + 16z + 80    (2)

Приравняем (1) и (2):

100 - z² = -z² + 16х + 80

16х = 20     |: 16

$\displaystyle z=\frac{20}{16}\\\\z=\frac{5}{4}$

$\displaystyle HC^2=100-\frac{25}{16}=\frac{1600-25}{16}=\frac{1575}{16}\\ \\ HC=\frac{15\sqrt{7} }{4}$

3. Рассмотрим ΔABK и ΔАKС - прямоугольные.

Пусть ВK = y, тогда KC = 10 - y.

По теореме Пифагора выразим AK из каждого треугольника.

ΔABK:

AK² = AB² - BK² = 64 - y²    (1)

ΔAKС:

AK² = AС² - KC² = 144 - (10 - y)²=144 - 100 + 20y - y² = -y² + 20y + 44    (2)

Приравняем (1) и (2):

64 - y² = -y² + 20y + 44

20y = 20     |: 20

$\displaystyle y=\frac{20}{20}\\\\y=1$

$\displaystyle AK^2=64-1=63\\ \\ AK=3\sqrt{7}$

#SPJ1