Question

Решить неравенство показательное

Answer 1

Ответ:

2.

Пошаговое объяснение:

Хотя в условии говорится о неравенстве, мы имеем уравнение.

ОДЗ: $x\not=\dfrac{4}{3}.$

Преобразуем:

             $3^{\frac{1}{3}\cdot \frac{3x+6}{3x-4}}-7=2\cdot 3^{\frac{5}{3}\cdot\frac{3x-6}{3x-4}};\ 3^{\frac{1}{3}\cdot\frac{(3x-4)+10}{3x-4}}-7=2\cdot 3^{\frac{5}{3}\cdot\frac{(3x-4)-2}{3x-4}};$

                                  $3^{\frac{1}{3}\cdot(1+\frac{10}{3x-4})}-7=2\cdot 3^{\frac{5}{3}\cdot (1-\frac{2}{3x-4})};$

замена

                                                      $\dfrac{2}{3x-4}=t;$

  получаем уравнение                            

                                             $3^{\frac{1}{3}(1+5t)}-7=2\cdot 3^{\frac{5}{3}(1-t)}.$

Угадываем решение t=1 (9-7=2 - верно). Поскольку функция, стоящая в левой части уравнения, возрастает, а функция, стоящая в правой части  уравнения, убывает, других решений нет. Отсюда

                                  $\dfrac{2}{3x-4}=1;\ 3x-4=2;\ 3x=6;\ x=2.$

Замечание. Если рассуждение про монотонность кому-то показалось слишком сложным, можно решать более стандартно. Вместо замены на t преобразуем так:

                                  $\sqrt[3]{3}\cdot 3^{\frac{10}{3(3x-4)}}-7=2\cdot \sqrt[3]{3^5}\cdot 3^{-\frac{10}{3(3x-4)}};$

замена

                                                    $3^{\frac{10}{3(3x-4)}}=p > 0;$

получаем уравнение

                         $\sqrt[3]{3}\cdot p-7=\dfrac{2\cdot\sqrt[3]{3^5}}{p};\ \sqrt[3]{3}\cdot p^2-7p-2\cdot\sqrt[3]{3^5}=0; D=49+8\cdot\sqrt[3]{3^6}=121;$

$p=\dfrac{7\pm 11}{2\cdot \sqrt[3]{3}};\ \left [ {{p=\frac{9}{3^{1/3}}} \atop {p=-\frac{2}{\sqrt[3]{3}} < 0}} \right.;\ p=3^{2-\frac{1}{3}}=3^{\frac{5}{3}};\ 3^{\frac{10}{3(3x-4)}}=3^{\frac{5}{3}};\ \dfrac{10}{3(3x-4)}=\dfrac{5}{3};$

                                              $3x-4=2;\ x=2.$