Question

Помогите, нужно найти интегралы

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits {(tg\;e^x)\;e^x} \, dx=-ln|cos\;e^x|+C$

Пошаговое объяснение:

Найти интеграл:

$\displaystyle \int\limits {(tg\;e^x)\;e^x} \, dx$

Выполним замену переменной:

$\displaystyle e^x=t\\\\e^x\;dx =dt$

Получим интеграл:

$\displaystyle \int\limits {(tg\;t)} \, dt=\int\limits {\frac{sin\;t}{cos\;t} } \, dt$

Выполним еще раз замену переменной:

$\displaystyle cos\;t=y\\\\-sin\;t\;dt=dy\\\\sin\;t\;dt=-dy$

Получили табличный интеграл:

$\displaystyle -\int\limits {\frac{dy}{y} } =-ln|y|+C$

А теперь выполним два раза обратную замену:

$\displaystyle \int\limits {(tg\;e^x)\;e^x} \, dx=-ln|y|+C=-ln|cos\;t|+C=-ln|cos\;e^x|+C$