Question

1. Найдите первообразную для функции:
f(x) = 3x2 + 3sin x

Answer 1

Ответ:

Первообразная функции равна:

$\boldsymbol{\boxed{F(x) = x^{3} - \cos x + C}}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}$

$\boxed{\int {\sin x} \, dx = -\cos x + C }$

По свойствам интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}$

Объяснение:

По условию:

$f(x) = 3x^{2} + 3 \sin x$

По определению первообразной:

$f(x) = F'(x)$, тогда $F(x) = \displaystyle \int {f(x)} \, dx$.

$\displaystyle F(x) = \int {\bigg (3x^{2} + 3 \sin x \bigg )} \, dx = \int {3x^{2} } \, dx + \int {3\sin x } \, dx = 3\int {x^{2} } \, dx + 3\int {\sin x } \, dx =$

$\displaystyle = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} + C_{1} - 3 \cos x + C_{2} = x^{3} - \cos x + C$