Question

Помогите пожалуйста, с подробным пояснением.
​

Answer 1

Ответ:

Применяем формулы сокращённого умножения и основное тригонометрическое тождество:  $\bf sin^2a+cos^2a=1$

$\displaystyle 6)\ \ sina+cosa=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}\\\\\\sin^6a+cos^6a=(sin^2a)^3+(cos^2a)^3=\\\\\star \ \ A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\ \ \star \\\\=(\underbrace{sin^2a+cos^2a}_{1})(sin^4a-sin^2a\cdot cos^2a+cos^4a)=\\\\=\Big((sin^2a)^2+2sin^2a\cdot cos^2a+(cos^2a)^2\Big)-2sin^2a\cdot cos^2a-sin^2a\cdot cos^2a=\\\\=\underbrace{(sin^2a+cos^2a)^2}_{1}-3\, sin^2a\cdot cos^2a=1-3\cdot (sina\cdot cosa)^2=$

Теперь , пользуясь тем, что  $sina+cosa=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}$  , найдём числовое

значение произведения  $sina\cdot cosa$  . Затем заменим это

произведение на соответствующее число .

$\star\ \ (sina+cosa)^2=\Big(\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}\Big)^2\\\\\underbrace{sin^2a+cos^2a}_{1}+2sina\cdot cosa=\dfrac{3}{2}\\\\1+2sina\cdot cosa=\dfrac{3}{2}\Big\\\\2sina\cdot cosa=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}\ \ \to \ \ \ \bf sina\cdot cosa=\dfrac{1}{4}\ \ \star$

$=1-3\,\cdot (sina\cdot cosa)^2=1-3\cdot \Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2=1-\dfrac{3}{16}=\bf \dfrac{13}{16}$

$\displaystyle 5)\ \ sina+cosa=\frac{1}{\sqrt2}\\\\\sqrt2\Big(\frac{1}{sin^3a}+\frac{1}{cos^3a}\Big)=\sqrt2\cdot\frac{cos^3a+sin^3a}{sin^3a\cdot cos^3a}=\\\\\\=\sqrt2\cdot \frac{(cosa+sina)(sin^2a-sina\cdot cosa+cos^2a)}{(sina\cdot cosa)^3}=\\\\\\=\sqrt2\cdot \frac{(cosa+sina)(1-sina\cdot cosa)}{(sina\cdot cosa)^3}=$

Найдём значение произведения   $sina\cdot cosa$  аналогично тому, как нашли его в предыдущем примере .

$\displaystyle \star \ \ (sina+cosa)^2=\Big(\frac{1}{\sqrt2}\Big)^2\\\\\underbrace{sin^2a+cos^2a}_{1}+2sina\cdot cos=\Big(\frac{1}{\sqrt2}\Big)^2\\\\1+2sina\cdot cosa=\dfrac{1}{2}\\\\2sina\cdot cosa=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\ \ ,\ \ \ \bf sina\cdot cosa=-\frac{1}{4}\ \ \star$

$\displaystyle =\sqrt2\cdot \frac{\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot \Big(1+\dfrac{1}{4}\Big)}{\Big(-\dfrac{1}{4}\Big)^3}=-\frac{\dfrac{5}{4}}{\dfrac{1}{4^3}}=-\frac{5\cdot 4^3}{4}=-5\cdot 4^2=\bf -80$