Помогите пожалуйста! Нужно решение и ответ. Чудак выбрал 677 различных натуральных чисел из списка 1,2,3... 2022. Он утверждает, что сумма никаких двух из выбранных им чисел не делится на 6. Не почудилось ли ему?
Ответы
Заметим, что число 2022 кратно 6.
Это означает, что среди натуральных чисел от 1 до 2022 поровну чисел, дающих при делении на 6 остаток 0, остаток 1, остаток 2, остаток 3, остаток 4 и остаток 5. Каждая из этих 6 групп содержит чисел.
Рассмотрим числа, дающие при делении на 6 остатки 1 и 5:
В нашем наборе не должны оказаться одновременно числа, дающие при делении на 6 остатки 1 и 5, так как в противном случае их сумма будет делиться на 6:
Рассмотрим числа, дающие при делении на 6 остатки 2 и 4:
По тем же причинам, в нашем наборе не должны оказаться одновременно числа, дающие при делении на 6 остатки 2 и 4, так как в противном случае их сумма будет делиться на 6:
Рассмотрим числа, дающие при делении на 6 остаток 0:
В нашем наборе точно не может быть двух таких чисел, иначе сумма двух чисел, делящихся на 6, будет делиться на 6:
Рассмотрим числа, дающие при делении на 6 остаток 3:
Аналогично, в нашем наборе точно не может быть двух таких чисел, иначе сумма двух чисел, дающих при делении на 6 остаток 3, будет делиться на 6:
Пользуясь вышесказанным, попробуем составить такой набор. В него включаем:
1) Все возможные числа, дающие при делении на 6 остаток 1 (ВМЕСТО них можно взять числа, дающие при делении на 6 остаток 5) - 337 чисел
2) Все возможные числа, дающие при делении на 6 остаток 2 (ВМЕСТО них можно взять числа, дающие при делении на 6 остаток 4) - 337 чисел
3) Одно число, дающее при делении на 6 остаток 0
4) Одно число, дающее при делении на 6 остаток 3
Узнаем общее количество чисел в нашем наборе:
Значит, составить набор из 677 чисел не представляется возможным.
Ответ: ему почудилось, такое невозможно