Question

Помогите пожалуйста! Нужно решение и ответ. Чудак выбрал 677 различных натуральных чисел из списка 1,2,3... 2022. Он утверждает, что сумма никаких двух из выбранных им чисел не делится на 6. Не почудилось ли ему?

Answer 1

Заметим, что число 2022 кратно 6.

Это означает, что среди натуральных чисел от 1 до 2022 поровну чисел, дающих при делении на 6 остаток 0, остаток 1, остаток 2, остаток 3, остаток 4 и остаток 5. Каждая из этих 6 групп содержит $2022:6=337$ чисел.

Рассмотрим числа, дающие при делении на 6 остатки 1 и 5:

$x_1=6k_1+1,\ k_1\in\mathbb{N}_0$

$x_5=6k_5+5,\ k_5\in\mathbb{N}_0$

В нашем наборе не должны оказаться одновременно числа, дающие при делении на 6 остатки 1 и 5, так как в противном случае их сумма будет делиться на 6:

$x_1+x_5=6k_1+1+6k_5+5=6k_1+6k_5+6=6(k_1+k_5+1)$

Рассмотрим числа, дающие при делении на 6 остатки 2 и 4:

$x_2=6k_2+2,\ k_2\in\mathbb{N}_0$

$x_4=6k_4+4,\ k_4\in\mathbb{N}_0$

По тем же причинам, в нашем наборе не должны оказаться одновременно числа, дающие при делении на 6 остатки 2 и 4, так как в противном случае их сумма будет делиться на 6:

$x_2+x_4=6k_2+2+6k_4+4=6k_2+6k_4+6=6(k_2+k_4+1)$

Рассмотрим числа, дающие при делении на 6 остаток 0:

$x_0=6k_0,\ k_0\in\mathbb{N}_0$

В нашем наборе точно не может быть двух таких чисел, иначе сумма двух чисел, делящихся на 6, будет делиться на 6:

$x_0+x_0=6k_0+6k_0=6\cdot 2k_0$

Рассмотрим числа, дающие при делении на 6 остаток 3:

$x_3=6k_3+3,\ k_3\in\mathbb{N}_0$

Аналогично, в нашем наборе точно не может быть двух таких чисел, иначе сумма двух чисел, дающих при делении на 6 остаток 3, будет делиться на 6:

$x_3+x_3=6k_3+3+6k_3+3=6\cdot 2k_3+6=6(2k_3+1)$

Пользуясь вышесказанным, попробуем составить такой набор. В него включаем:

1) Все возможные числа, дающие при делении на 6 остаток 1 (ВМЕСТО них можно взять числа, дающие при делении на 6 остаток 5) - 337 чисел

2) Все возможные числа, дающие при делении на 6 остаток 2 (ВМЕСТО них можно взять числа, дающие при делении на 6 остаток 4) - 337 чисел

3) Одно число, дающее при делении на 6 остаток 0

4) Одно число, дающее при делении на 6 остаток 3

Узнаем общее количество чисел в нашем наборе:

$337+337+1+1=676 < 677$

Значит, составить набор из 677 чисел не представляется возможным.

Ответ: ему почудилось, такое невозможно