Question

сумма 8 и 6 члена арифметической прогрессии=16 а произведение 2 и 12=-36. Найти разность и первый член прогрессий.

Answer 1

Из условия: $displaystyle left { {{a_8+a_6=16} atop {a_2a_{12}=-36}} right.$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+(n-1)d$, имеем

$displaystyle left { {{a_1+7d+a_1+5d=16} atop {(a_1+d)(a_1+11d)=-36}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{a_1+6d=8} atop {(a_1+6d-5d)(a_1+6d+5d)=-36}} right.\ \ (8-5d)(8+5d)=-36\ \ 64-25d^2=-36\ \ 25d^2=100\ \ d^2=4\ \ d=pm2$

Если d=2, то $a_1=8-6d=8-6cdot2=-4$

Если d=-2, то $a_1=8-6cdot(-2)=8+12=20$

Ответ: a₁=-4 и d=2 или a₁=20 и d=-2.

Answer 2

Выразим a₆, a₈, a₂ и a₁₂ через формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

aₙ = a₁ + (n-1)×d, где d - разность арифметической прогрессии, n - номер

$a_6 = a_1 + 5d\\a_8 = a_1 + 7d\\a_2 = a_1 + d \\a_{12} = a_1 + 11d$

Составим систему из двух уравнений

$left {begin{array}{lcl} {{a_6+a_8=16} \ {a_2cdot a_{12}=-36}}end{array} right. \\\left {begin{array}{lcl} {{a_1+5d+a_1+7d=16} \ {(a_1+d)cdot (a_1 + 11d)=-36}}end{array}right.\\\left {begin{array}{lcl}{{2a_1+12d=16;;|:2} \ {((a_1+6d)-5d)cdot ((a_1 + 6d)+5d)=-36}}end{array} right.\\\left {begin{array}{lcl} {{a_1+6d=8} \ {(a_1+6d)^2-25d^2=-36}}end{array} right.$

$left {begin{array}{lcl} {{a_1+6d=8} \ {underbrace{(a_1+6d)^2}_{8^2}-25d^2=-36}}end{array} right.\\\left {begin{array}{lcl} {{a_1+6d=8} \ {25d^2=100}}end{array} right.\\\left {begin{array}{lcl} {{a_1+6d=8} \ {d=pm 2}}end{array} right.$

Если d = 2, то a₁ = 8 - 6d = 8 - 12 = -4

Если d = -2, то a₁ = 8 + 12 = 20

Ответ: Если d = -2, то a₁ = 20, а если d = 2, то a₁ = -4