Question

Момент инерции кольца массы m и радиуса R относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его диаметр

Answer 1

Замечание. Одна из осей в теореме Штейнера должна проходить через центр масс.

Теорема неверна для двух произвольных осей.

В качестве примера вычислим момент инерции уже рассмотренного

стержня относительно оси, проходящей через середину стержня, и перпендикулярной стержню. Это как раз Jc из теоремы Штейнера, поэтому

mL2

/3 = J = Jc + mL2

/4, откуда Jc = mL2

/12.

Плоская фигура. Пусть все точки тела лежат в плоскости xy. Тогда

Jz =

i

mi(x2

i + y2

i ) =

i

mix2

i +

i

miy2

i = Jy + Jx.

Применим это соотношение для вычисления момента инерции кольца

радиусом R и массой m относительно его диаметра (оси x на рисунке).

Момент инерции кольца относительно оси z, перпендикулярной плоскости

кольца и проходящей через его центр, легко вычисляется по определению

Jz = mR2.

Моменты инерции относительно осей x и y, очевидно, равны в силу симметрии кольца

Jx = Jy.

Теперь можно написать

Jx = 1

2

Jz = mR2

/2.

Плоское движение

Плоским движением твердого тела называется такое движение, когда

направление угловой скорости остается постоянным, а скорость какой либо точки O (и тогда любой точки) перпендикулярна угловой скорости.

Плоское движение можно еще описать, сказав, что оно эффективно двумерное: разные точки твердого тела движутся в параллельных плоскостях,

а сами эти плоскости перпендикулярны угловой скорости. Примером плоского движения является качение цилиндра по наклонной плоскости.

Как уже говорилось в начале лекции, в двумерном пространстве твердое

тело имеет три степени свободы: две поступательных и одну вращательную. Уравнения движения, соответствующие поступательным степеням

свободы, имеют вид

m

dvcx

dt = Fx, m

dvcy

dt = F