Question

Найдите корни уравнения, принадлежащие указанному интервалу :
1) sin(x-450°)-cos(3x-180°)=0, 0° < x < 180°
2) sin(x+270°)-cos(3x+720°)=0, 40° < x < 90°

Answer 1

Пригодятся такие формулы, как: синус суммы, синус разности, косинус суммы, косинус разности двух углов:

$\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\:*\:\cos\beta+\cos\alpha\:*\:\sin\beta$

$\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\:*\:\cos\beta-\cos\alpha\:*\:\sin\beta$

$\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\:*\:\cos\beta-\sin\alpha\:*\:\sin\beta$

$\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\:*\:\cos\beta+\sin\alpha\:*\:\sin\beta$

Разность и сумма косинусов:

$\displaystyle\cos\alpha -\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\:*\:\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\displaystyle \cos\alpha +\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\:*\:\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

$\displaystyle1) \sin(x-450^{\circ})-\cos(3x-180^{\circ})=0; ~~~ 0<x<\pi$

$\displaystyle (\sin x \:*\: \cos450^{\circ}-\cos x\:*\:\sin450^{\circ})-(\cos3x \:*\: \cos180^{\circ}+\sin3x\:*\:\sin180^{\circ})=0$

$\displaystyle (\sin x \:*\:\cos(360^{\circ}+90^{\circ})-\cos x \:*\: \sin(360^{\circ}+90^{\circ}))-(\cos3x\:*\:(-1)+\sin3x \:*\: 0)=0$

$\displaystyle(\sin x \:*\:\cos90^{\circ}-\cos x \:*\: \sin90^{\circ})-(-\cos3x+0)=0$

$\displaystyle (\sin x \:*\:0-\cos x \:*\: 1)+\cos3x = 0$

$\displaystyle -\cos x + \cos3x =0$

$\displaystyle \cos3x-\cos x=0$

$\displaystyle -2\sin\frac{3x+x}{2}\:*\:\sin\frac{3x-x}{2} =0$

$\displaystyle -2\sin2x \:*\: \sin x=0~~|:(-2)$

$\displaystyle \sin2x \:*\: \sin x = 0$

$\displaystyle\left [ \begin{array}{ccc} \sin2x = 0 \\\\ \sin x = 0 \end{array}\right \left [ \begin{array}{ccc} 2x = \pi n,n \in z| : 2 \\\\ x = \pi k,k \in z \end{array}\right\left [ \begin{array}{ccc} \boldsymbol{x = \frac{1}{2}\pi n,n \in z} \\\\ \boldsymbol{x = \pi k,k \in z }\end{array}\right$

• По условию: нужно найти корни, принадлежащие интервалу 0<х<π. Сделаем отбор корней.
• n, k – целые числа. Подставим вместе них целые числа и проверим, принадлежат ли найденные корни данному интервалу.
• Удовлетворять, что второй корень принадлежит этому интервалу бесполезно. Т.к. при любыx k, значение не будет входить в этот промежуток. Поэтому работает только с первым корнем.

При n = 0:

$\displaystyle x = \frac{1}{2} \pi \:*\:0= 0$

• При n = 0 наш корень не входит в промежуток от (0;π).

При n = 1:

$\displaystyle x = \frac{1}{2} \pi \:*\:1= \frac{1}{2}\pi.$

• Найденный корень входит в промежуток от (0;π) при n = 1.

При n = 2:

$\displaystyle x = \frac{1}{2}\pi ~*~ 2 = \pi$

• При n = 2 найденный корень не входит в данный промежуток. Следовательно дальше подставлять смысла нет.

Ответ: х = (1/2)πn, n ∈ z

$\displaystyle2) \sin(x+270^{\circ})-cos(3x+720^{\circ})=0, \frac{2\pi}{9} < x < \frac{\pi}{2}$

$\displaystyle (\sin x ~*~\cos(270^{\circ}+\cos x~*~\sin(270^{\circ})-(\cos3x~*~\cos(2~*~360^{\circ})-\sin3x~*~\sin(2~*~360^{\circ}))=0$

$\displaystyle (\sin x ~*~0 +\cos x ~*~(-1))-(\cos3x~*~\cos360^{\circ}-\sin3x ~*~\sin360^{\circ})=0$

$\displaystyle -\cos x-(\cos3x~*~1-\sin3x~*~0)=0$

$\displaystyle -\cos x - \cos3x = 0$

$\displaystyle -(\cos x + \cos3x) =0$

$\displaystyle-\bigg(2\cos\frac{x+3x}{2}~*~\cos\frac{x-3x}{2}\bigg)=0$

$\displaystyle-(2\cos2x ~*~\cos x) =0$

$\displaystyle-2\cos2x ~*~\cos x =0~~|:(-2)$

$\displaystyle \cos2x ~*~\cos x = 0$

$\displaystyle \left [ \begin{array}{ccc} \cos2x = 0 \\\\ \cos x = 0 \end{array}\right \left [ \begin{array}{ccc} 2x = \frac{\pi}{2}+2\pi n,n \in z| : 2 \\\\ x =\frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in z \end{array}\right\left [ \begin{array}{ccc} x = \frac{1}{4}\pi+\pi n,n \in z \\\\ x = \frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in z \end{array}\right$

• По условию нужно найти корни, принадлежащие интервалу 2π/9 < х < π/2. Работаем по той же схеме: Сделаем отбор корней.
• n, k – целые числа. Подставим вместе них целые числа и проверим, принадлежат ли найденные корни данному интервалу.
• Удовлетворять, что второй корень принадлежит этому интервалу опять же бесполезно. Т.к. при любыx k, значение не будет входить в этот промежуток. Поэтому работает только с первым корнем.

При n = 0:

$\displaystyle x =\frac{1}{4}\pi+\pi~*~0 = \frac{1}{4}\pi$

• Найденный корень входит в промежуток от (2π/9;π/2) при n = 0.

При n = 1:

$\displaystyle x =\frac{1}{4}\pi+\pi~*~1 = \frac{5}{4}\pi$

• При n = 1 найденный корень не входит в промежуток от(2π/9;π/2). Поэтому смысла подставлять дальше нет.

Ответ: x = (1/4)π + πn, n ∈ z