Question

При якому значеннях параметра а корені рівняння x2-6ах+9a^2-2а+2=0 більше за 3?
срочно даю 100 балов​

Answer 1

Ответ: $\boldsymbol{a \in ( 11/9 ~ ; ~ \infty ) }$

Объяснение:

$x^2 - 6ax + 9a^2 -2a + 2=0$

Для данного уравнения должно выполняться три условия

x₁ >3

x₂ > 3

D ≥0

Находим дискриминант

$D =36a^2 - 36a^2 + 8a -8 =8a-8 \geqslant 0$

$8a - 8 \geqslant 0 \\\\ a\geqslant 1$

Учитываем , что x₁ >3  и x₂ > 3

$\displaystyle x_1 =\frac{6a +\sqrt{8a - 8} }{2} > 3\\\\\\ x_2 =\frac{6a-\sqrt{8a- 8} }{2} > 3$

Решаем первое неравенство

$\displaystyle \frac{6a +\sqrt{8a - 8} }{2} > 3 \\\\ 6a +\sqrt{8a - 8} > 6 \\\\ \sqrt{8a - 8} > 6 - 6a$

Вспомним , что  неравенство $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем :

$\left [ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} f(x)\geqslant 0 \\\\ g(x) < 0 \end{array} \right. \\\\ \left \{ \begin{array} ff (x) > g^2(x)\\\\ g(x)\geqslant 0 \end{array} \end{array}$

Таким образом :

I)

$\left \{ \begin{array}{l} 8a-8 \geqslant 0 \\\\ 6a-6 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a\geqslant 1 \\\\ a > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in (1 ~; ~\infty )$

II)

$\left \{ \begin{array}{l} 8a - 8 > 36 (a-1)^2 \\\\ 6-6a \geqslant 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 8a - 8 > 36a^2 -72a + 36 \\\\ a\leqslant 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \\\\\\\\\ \Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} 9a^2 -20a + 11 < 0 \\\\ a\leqslant 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9(a-1)(a - 11/9) < 0 \\\\ a\leqslant 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a \in ( 1 ~ ; ~ 11/9) \\\\ a\leqslant 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow ~ \varnothing$

Находим объединение

$I) ~ a \in ( ~ 1 ~ ; ~ \infty ) \\\\ II) ~ \varnothing$

$\boxed{ ~ a \in ( ~ 1 ~ ; ~ \infty~)~ }$

Решаем второе неравенство

$\displaystyle \frac{6a-\sqrt{8a- 8} }{2} > 3 \\\\ 6a - \sqrt{8a - 8} > 6\\\\ \sqrt{8a- 8 } < 6a - 6$

Вспомним , что  неравенство  $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе :

$\left \{ \begin{array}{l} f(x) < g^2(x)\\\\ g(x) > 0 \\\\ f(x)\geqslant 0 \end{array} \right.$

Таким образом :

$\left \{ \begin{array}{l} 8a - 8 < 36 (a-1)^2\\\\ 6a - 6 > 0 \\\\ 8a - 8 \geqslant 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} (a- 11/9)(a-1) > 0\\\\ a > 1 \\\\ a \geqslant 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow a > 11/9$

Находим объедение  промежутков для    D ≥ 0 ,  x₁ > 3 , x₂ > 3

$a \in [ ~ 1 ~ ; ~ \infty ) \\\\ a\in (1 ~ ; ~ \infty ) \\\\ a\in ( 11/9 ~ ; ~ \infty )$

По итогу выйдет промежуток :

$\boldsymbol{a \in ( 11/9 ~ ; ~ \infty ) }$