Question

Известно, что 1/cos(2022x)+tg(2022x)=1/2022.
Чему равно 1/cos(2022x)-tg(2022x)?

Answer 1

$\dfrac{1}{\cos2022x} +\mathrm{tg}\,2022x=\dfrac{1}{2022}$

Обозначим искомое выражение некоторой буквой:

$\dfrac{1}{\cos2022x} -\mathrm{tg}\,2022x=A$

Перемножим левые и правые части этих двух выражений:

$\left(\dfrac{1}{\cos2022x} +\mathrm{tg}\,2022x\right)\left(\dfrac{1}{\cos2022x} -\mathrm{tg}\,2022x\right)=\dfrac{1}{2022}\cdot A$

В левой части применяется формула разности квадратов:

$\dfrac{1}{\cos^22022x} -\mathrm{tg}^2\,2022x=\dfrac{A}{2022}$

Тангенс представим в виде отношения синуса к косинусу:

$\dfrac{1}{\cos^22022x} -\dfrac{\sin^22022x}{\cos^22022x}=\dfrac{A}{2022}$

$\dfrac{1-\sin^22022x}{\cos^22022x}=\dfrac{A}{2022}$

В соответствии с основным тригонометрическим тождеством получим:

$\dfrac{\cos^22022x}{\cos^22022x}=\dfrac{A}{2022}$

$1=\dfrac{A}{2022}$

Значит:

$A=2022\Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{\cos2022x} -\mathrm{tg}\,2022x=2022}$

Ответ: 2022