Question

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки M и K так, что AM : BM = 1 : 2, BK : CK = 3 : 5. Отрезки AK и CM пересекаются в точке О. Найдите AO : KO.

Answer 1

Ответ:

Отношение AO : KO = 4 : 5.

Объяснение:

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки M и K так, что AM : BM = 1 : 2, BK : CK = 3 : 5. Отрезки AK и CM пересекаются в точке О. Найдите AO : KO.

Дано: ΔАВС;

М ∈ АВ; К ∈ ВС;

AM : BM = 1 : 2, BK : CK = 3 : 5;

АК ∩ СМ = О

Найти: AO : KO.

Решение:

Дополнительное построение:

Проведем ЕК || MC; MH || AK.

• Теорема о пропорциональных отрезках:
• Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне.

1. BK : CK = 3 : 5; ЕК || MC ⇒

$\displaystyle \frac{BK}{CK}=\frac{BE}{ME} =\frac{3}{5}$

Пусть ВЕ = 3х, МЕ = 5х, тогда ВМ = 8х

2. AM : BM = 1 : 2  или

$\displaystyle \frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}\\\\ \frac{AM}{8x}=\frac{1}{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;AM=4x$

3. MO || EK; АМ = 4х, МЕ = 5х.

$\displaystyle \frac{AO}{OK}=\frac{AM}{ME} =\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$

Отношение AO : KO = 4 : 5.