Question

Используя метод вспомогательного аргумента покажите, что уравнение sin 4x - cos 4x = √2 можно привести к виду sin (4x-2)-1..
Запишите общее решение уравнения
sin 4x - cos 4x=√2

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3\pi }{16} +\dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}.$

Объяснение:

Используя метод вспомогательного угла показать, что уравнение

$sin4x-cos4x=\sqrt{2}$

можно привести к виду  $sin \left(4x- \dfrac{\pi }{4} \right)=1$

Записать общее решение уравнения $sin4x-cos4x=\sqrt{2}$

Разделим обе части данного уравнения на  $\sqrt{2}$

$sin4x-cos4x=\sqrt{2}|:\sqrt{2} ;\\\\\dfrac{1}{\sqrt{2} } \cdot sin4x -\dfrac{1}{\sqrt{2} } \cdot cos 4x =\dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } ;\\\\\dfrac{\sqrt{2} }{2} \cdot sin4x -\dfrac{\sqrt{2} }{2} \cdot cos 4x =1$

Так как $sin \dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}$     и   $cos \dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}$ , то  уравнение запишем в виде

$sin4x\cdot cos \dfrac{\pi }{4} -cos4x \cdot sin \dfrac{\pi }{4}=1$

Воспользуемся формулой

$sin ( \alpha -\beta )= sin\alpha \cdot cos\beta -cos\alpha \cdot sin\beta$

и получим

$sin \left(4x- \dfrac{\pi }{4} \right)=1$

Решим данное уравнение

$4x- \dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\pi }{2} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\4x= \dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi }{2} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\4x= \dfrac{3\pi }{4} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\x= \dfrac{3\pi }{16} +\dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}.$

#SPJ1