Question

решите уравнение cos3x+cosx=cos2x на промежутке (0;п)​

Answer 1

$cos3x + cosx = cos2x$

в левой части используем формулу суммы косинусов:

$2(cos\frac{3x+x}{2}+cos\frac{3x-x}{2}) = cos2x\\2*cos2x*cosx=cos2x\\2*cos2x*cosx - cos2x = 0\\cos2x(2cosx - 1) = 0$

теперь рассмотрим то, что за скобкой:

$cos2x = 0$ (далее в системе не забывай прописывать, что n ∈ Z)

$\left \{ {{2x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n} \atop {2x = \frac{3\pi }{2} + 2\pi n}} \right.\\\left \{ {{x = \frac{\pi }{4} + \pi n } \atop {x = \frac{3\pi }{4} +\pi n }} \right.$

эту систему можно упростить до: $x = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi n}{2}$, n ∈ Z

далее рассмотрим скобку:

$2cosx - 1 = 0\\cosx = \frac{1}{2}\\ \left \{ {{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi n} \atop {x = \frac{5\pi }{3} + 2\pi n}} \right.$  (далее в системе не забывай прописывать, что n ∈ Z)

$x = \frac{5\pi }{3} + 2\pi n$, n ∈ Z - не входит в наш промежуток => его мы даже не рассматриваем (если подставить n = 0, то получится $\frac{5\pi }{3} > \pi$)

Получаем, что на промежутке [0; π] уравнение имеет следующие корни: $\frac{\pi }{4}, \frac{\pi }{3}, \frac{2\pi }{3}, \frac{3\pi }{4}, \pi$