з.Задані координати вершин піраміди MNPQ: M(6;6;2), N(5;4;7), P(2;4;7), Q(7;3;0).
Знайти:
1) рівняння ребра NQ;
2) рівняння грані MNQ;
3) рівняння висоти, опущеної із вершини Р на грань MNO;
4) довжину цієї висоти;
5) рівняння площини, що проходить через вершину Р і паралельній грані MNQ;
6) рівняння площини, що проходить через вершину Р і перпендикулярній ребру NQ;
7) кут між ребрами NO і NM.
Ответы
Задані координати вершин піраміди MNPQ:
M(6;6;2), N(5;4;7), P(2;4;7), Q(7;3;0). Знайти:
1) рівняння ребра NQ;
Вектор NQ = (7-5; 3-4; 0-7) = (2; -1; -7).
Уравнение ребра NQ: (x-5)/2 = (y-4)/(-1) = (z-7)/(-7).
2) рівняння грані MNQ;
Используем вектор NQ = (2; -1; -7).
Находим вектор NM = (6-5; 6-4; 2-7) = (1; 2; -5).
Вычисляем векторное произведение:
NQ x NM = i j k | i j
2 -1 -7 | 2 -1
1 2 -5 | 1 2 = 5i – 7j + 4k + 10j + 14i + 1k =
= 19i + 3j + 5k.
Получен нормальный вектор плоскости MNQ: N = (19; 3; 5).
Уравнение плоскости MNQ:
19(x – 6) + 3(y – 6) + 5(z - 2) = 0.
19x + 3y + 5z – 142 = 0.
3) рівняння висоти, опущеної із вершини Р на грань MNO
Направляющим вектором этой высоты является нормальный вектор плоскости MNQ: N = (19; 3; 5).
Используем координаты точки Р(2;4;7).
Уравнение высоты:
(x – 2)/19 = (y – 4)/3 = (z – 7)/5.
4) довжину цієї висоти;
Длину высоты h найдём по формуле h = 3V/S(MNQ).
Для нахождения объёма V находим вектор NP.
NP = (2-5; 4-4; 7-7) = (-3; 0; 0).
Находим смешанное произведение векторов:
(NQ x NM)* NP = 19 3 5
-3 0 0
-57 + 0 + 0 = -57.
Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения.
V = (1/6)*57 = 57/6 = 19/2 = 9,5.
Площадь треугольника MNQ равна половине модуля векторного произведения:
S(MNQ) = (1/2)√(19² + 3² + 5²) = = (1/2)√(361 + 9 + 25) = (1/2)√395 ≈ 9,937303.
Получаем h = 3*(19/2)/((1/2)√395) = 57/√395 = 57√395/395 ≈ 2,867981.
5) рівняння площини, що проходить через вершину Р і паралельній грані MNQ;
Нормальный вектор для такой плоскости равен N = (19; 3; 5).
Уравнение плоскости получаем, подставив координаты точки P(2;4;7):
19(x – 2) + 3(y – 4) + 5(z - 7) = 0.
19x + 3y + 5z – 85 = 0.
6) рівняння площини, що проходить через вершину Р і перпендикулярній ребру NQ.
Нормальный вектор для такой плоскости равен направляющему вектору прямой NQ.
Вектор NQ = (2; -1; -7).
Уравнение плоскости получаем, подставив координаты точки P(2;4;7):
2(x – 2) - 1(y – 4) - 7(z - 7) = 0.
2x - y - 7z + 49 = 0.
7) кут між ребрами NQ і NM. M(6;6;2), N(5;4;7), P(2;4;7), Q(7;3;0).
Угол NM_NQ
NM = 1 2 -5 5,477226
NQ= 2 -1 -7 7,348469
2 + -2 + 35 = 35
cos(NM_NQ) 35 / 40,24922 = 0,869582
NM_NQ= 0,516441 радиан
29,5899 градусов.