Question

Докажите что уравнение cos^2 2x-sin^2 2x + cos3x=5 не имеет корней

Answer 1

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =\cos^2\alpha -\sin^2\alpha$

Рассмотрим уравнение:

$\cos^2 2x-\sin^2 2x + \cos3x=5$

В левой части применим формулу косинуса двойного угла:

$\cos4x+ \cos3x=5$

Вспомним, что косинус принимает свои значениях из отрезка от -1 до 1. То есть:

$-1\leqslant \cos 4x\leqslant 1$

$-1\leqslant \cos 3x\leqslant 1$

Сложим почленно эти неравенства:

$-1-1\leqslant \cos 4x+\cos3x\leqslant 1+1$

$-2\leqslant \cos 4x+\cos3x\leqslant 2$

Таким образом, левая часть уравнения может принимать значение из отрезка от -2 до 2, соответственно она не может принимать значение 5. Значит, уравнение не имеет корней.