Question

1.Даны координаты 3 вершин параллелограмма:
А(2; 1; -8)
В(1; -5; 0)
С(8; 1; -4).
Найти:
- координаты 4-й вершины;
- определить вид параллелограмма;
- диагонали параллелограмма;
- координаты точки пересечения диагоналей,

Answer 1

Ответ:

1) Надо найти точку пересечения диагоналей параллелограмма (точка пересечения диагоналей параллелограмма делит диагонали пополам).

Найдем середину AC и обозначим ее O.

Середина двух координат это их среднее арифметическое.

$x_{O} = \frac{2+8}{2} = 5$

$y_{O} = \frac{1+1}{2} = 1$

$z_{O} = \frac{-8+ (-4)}{2} = -6$

O(5;1;-6)

Теперь найдем D.

$x_{O} = \frac{x_{B} + x_{D}}{2} \\ x_ {B} + x_{D} =2x_{O} \\ x_{D} = 2x_{O} - x_{B}$

$x_{D} = 2 \times 5 - 1 = 9$

$y_{D} = 2 \times 1 - (-5) = 7$

$z_{D} = 2 \times (-6) - 0 = -12$

Координаты четвертой вершины:

D(9;7;-12)

2) найдем все стороны параллелограмма (у него параллельные стороны равны).

AB=CD

BC=AD

$AB= \sqrt{ (x_ {B}-x_ {A})^{2} + (y_ {B}-y_ {A})^{2} + (z_ {B}-z_ {A})^{2}}$

$AB= \sqrt{ (1-2)^{2} + (-5-1)^{2} + (0- (-8))^{2}}= \sqrt{1+36+64} = \sqrt{101}$

$BC= \sqrt{ (8-1)^{2} + (1- (-5))^{2} + (-4-0)^{2}}= \sqrt{49+36+16} = \sqrt{101}$

Все стороны параллелограмма равны, значит это ромб. Теперь надо проверить является ли ромб квадратом. Если диагонали равны, то это квадрат, если нет, то это ромб.

$AC = \sqrt{ (8-2)^{2} + (1-1)^{2} + (-4- (-8))^{2}}= \sqrt{36+0+16} = \sqrt{52}$

$BD= \sqrt{ (9-1)^{2} + (7- (-5))^{2} + (-12-0))^{2}}= \sqrt{64+144+144} = \sqrt{352}$

Диагонали не равны, значит это ромб.

3) уже нашли в 2.

4) нашли в 1.