Question

Розв'яжіть нерівність log^2 1/4 X + log1/4 X-2>=0

Answer 1

Ответ:

$\bf log_{\frac{1}{4}}^2x+log_{\frac{1}{4}}x-2\geq 0\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x > 0\ .$

Решим квадратное неравенство относительно функции  $\bf log_{\frac{1}{4}}x$  .

Сделаем замену   $\bf log_{\frac{1}{4}}x=t$  .  

$\bf t^2+t-2\geq 0\ \ \ \to \ \ \ (t+2)(t-1)\geq 0\ \ ,\ \ t\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 1\ ;+\infty )$

Вернёмся к старой переменной .

$\bf a)\ \ log_{\frac{1}{4}}x\leq -2$  

Функция  $\bf log_{\frac{1}{4}}x$  убывающая, поэтому  $\bf x\geq \Big(\dfrac{1}{4}\Big)^{-2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\geq 16$  

$b)\ \ \bf log_{\frac{1}{4}}x\geq 1\ \ \Rightarrow \ \ \ x\leq \Big(\dfrac{1}{4}\Big)^{1}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 0 < x\leq \dfrac{1}{4}$  

Ответ:  $\bf x\in (\ 0\ ;\ \dfrac{1}{4}\ ]\cup [\ 16\ ;+\infty \, )$  .