Question

Найди сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если разность между третьим и первым членами равна (–15), а сумма второго и третьего членов прогрессии равна (–20).

Answer 1

Ответ:

Сумма шести первых членов геометрической прогрессии равна (-1365).

Объяснение:

Найди сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если разность между третьим и первым членами равна (–15), а сумма второго и третьего членов прогрессии равна (–20).

Дано:

$\displaystyle b_3-b_1=-15\\\\b_2+b_3=-20$

Найти:  $S_6$

Решение:

• Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

                            $\boxed {\displaystyle\bf S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} }$

Нужно найти b₁ и q.

• Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

                              $\boxed {\displaystyle\bf b_n=b_1\cdot q^{n-1} }$

$\displaystyle b_2=b_1q;\;\;\;b_3=b_1q^2$

Подставим эти выражения в данные равенства:

$\displaystyle b_3-b_1=b_1q^2-b_1=-15\\\\b_2+b_3=b_1q+b_1q^2=-20$

Решим систему:

$\displaystyle \left \{ {{b_1q^2-b_1=-15} \atop {b_1q^2+bq=-20}} \right.$

Умножим второе уравнение на (-1) и сложим уравнения:

$\displaystyle + \left \{ {{b_1q^2-b_1=-15} \atop {-b_1q^2-b_1q=20}} \right.\\----------\\_ {}\;\;\;\;\;\;-b_1-b_1q=5$

$\displaystyle -b_1(1+q)=5\\\\\boxed {b_1=-\frac{5}{1+q} }$

Подставим это значение в первое уравнение и найдем q:

$\displaystyle b_1(q^2-1)=-15\\\\-\frac{5}{1+q}\cdot (q-1)(q+1)=-15\;\;\;\;\;|:(-5)\\ \\q-1=3\\\\{q=4}$

Найдем b₁:

$\displaystyle b_1=-\frac{5}{1+4}=-1$

Можем найти  $S_6$ :

$\displaystyle S_6=\frac{-1\cdot (4^6-1)}{4-1} =-\frac{4096-1}{3} =-1365$

Сумма шести первых членов геометрической прогрессии равна (-1365).

#SPJ1