5. Во сколько раз масса Сатурна больше массы Урана, если спутник Сатурна Титан находится от планеты на расстоянии 1221000 км и обращается вокруг неё с периодом 15,95 сут., а спутник Урана Титания имеет период обращения, равный 8,7 сут., и большую полуось орбиты 439200 км? Массы Титана и Титании считайте пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет.
Ответы
Ответ: Сатурн массивнее Урана в ≈ 6,39 раз
Объяснение: Дано:
Масса Сатурна - М1
Большая полуось орбиты Титана а1 = 1221000 км
Период обращения Титана Т1 = 15,95 суток
Масса Урана - М2
Большая полуось орбиты Титании а2 = 439200 км
Период обращения Титании Т2 = 8,7 суток
Найти отношение масс Сатурна и Урана М1/М2 - ?
Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них, и имеет вид:
Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³, здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел; а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.
Так как обычно массы спутников малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует,
что М1/М2 = Т2²*а1³/Т1²* а2³
В нашем случае М1/М2 = 8,7²*1221000³/15,95²*439200³ ≈ 6,39.
Сатурн массивнее Урана в ≈ 6,39 раз.