Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет е=1/2, фокус F(-4,1) и уравнение соответствующей директрисы y+3=0.
Ответы
Ответ: ((x + 4)²)/((4√3/3)²) + ((y - 1)²)/((8/3)²) = 1.
Пошаговое объяснение:
Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет е=1/2, фокус F(-4,1) и уравнение соответствующей директрисы y+3=0.
Так как директриса параллельна оси Ох, то большая ось эллипса параллельна оси Оу.
Если центр эллипса перенесен в точку A(xo;yo), то его kаноническое уравнение принимает вид
((x – xo)²/a²) +((y – yo)²/b²) = 1.
Директрисы эллипсa - две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии a/e от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно p/e.
По заданным значениям находим расстояние L от фокуса до директрисы.
Директориальное свойство эллипса: отношение расстояний от его точек до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно e.
Далее используем это свойство эллипса: расстояние от его точки до фокуса равно расстоянию от фокуса до директрисы, умноженному на эксцентриситет.
Пусть АК = х, тогда AF_1 = x*e = x*(1/2).
Так как АК + AF_1 = 4, то отсюда находим x + (x/2) = 4, (3/2)x = 4.
x = 8/3.
AF_1 = (8/3)*(1/2) = 4/3.
Отсюда определяем координаты вершины А эллипса.
у(А) = 1 – (4/3) = -(1/3).
Точка А(-4; (-1/3)).
Теперь можно определить положение центра эллипса.
Расстояние от центра до директрисы равно а/е = а/(1/2) = 2а.
То есть ОА = АК = 8/3.
Находим координаты центра эллипса.
у(О) = 1 + (8/3) = 11/3.
Получаем параметры эллипса:
Большая полуось b = 8/3. с (полуфокусное расстояние) = ОF_1 = 4/3.
Далее находим малую полуось.
а = √(b² - c²) = √((64/9) – (16/9) = √(48/9) = 4√3/3.
Теперь можно составить уравнение эллипса.
((x + 4)²)/((4√3/3)²) + ((y - 1)²)/((8/3)²) = 1.
Подробности во вложении.
