Question

найдите сумму корней биквадтратного уравнения
(решить надо только те,что зелёным) помогите пожалуйста срочно ​

Answer 1

Ответ:

1.

$x_{1} =\sqrt{2} \\x_{2} =-\sqrt{2}\\x_{1}+x_{2} =0$

2.

$y_{1} =\frac{\sqrt{3} }{3} \\y_{2} =-\frac{\sqrt{3} }{3}\\y_{1} +y_{2} =0$

Объяснение:

У нас даны биквадратные уравнения:

$x^{4} +3x^{2} -10=0$

$12y^{4} -y^{2} -1=0$

Но как же нам их решать. Для этого рассмотрим формулу биквадратного уравнения и распишем это уравнения на пример формулы.

Формула биквадратного уравнения:

$ax^{4} +bx^{2} +c=0\\a\neq 0$

a- первый коэффициент

b- второй коэффициент

c- свободный член

1. Для начала введем замену чтобы нам легче было решать уравнение:

$t=x^{2}\\t\geq0$

Почему t ≥ 0 ? Потому, что число в квадрате всегда будет больше или равно нулю, а t мы как раз приравниваем к числу в квадрате х².

↓

$at^{2} +bt+c=0$  

↓

Мы свели наше уравнения до вида квадратного.

2. Как же решать квадратное уравнение ? Рассмотрим формулу квадратного уравнения и на примере формулы решим его.

Формула квадратного уравнения:  

$ax^{2} +bx+c=0$

a- первый коэффициент

b- второй коэффициент

c- свободный член

Чтобы найти корни квадратно уравнения нам для начало надо найти

дискриминант. Но как найти дискриминант ? Для этого есть отдельная формула.

Формула дискриминанта:

$D=b^{2} -4ac$

! Важное примечание:

D<0 - Уравнение не имеет корней.

D=0 - Уравнение имеет только один корень.

D>0 - Уравнение имеет два корня.

Зная  дискриминант как найти корни уравнения. Для этого тоже есть свои формулы.

Формулы для нахождения квадратного уравнения:

$x_{1} =\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} \\\\x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a}$

3. Рассмотрев как решается квадратное уравнение, вернёмся к биквадратному.  Закончили мы на:

$at^{2} +bt+c=0$  

За формулами находим корни этого квадратного уравнения:

В зависимости от уравнения и условий выше перечисленных у нас выйдет один или два корня уравнения (t). Если в этом квадратном уравнении не будет корней соответственно и биквадратное уравнение не будет  иметь корней. Рассмотрим если два корня квадратно уравнения  соответствуют условию t ≥ 0.

↓

Тогда у нас выйдет два последних уравнения:

$t_{1} =x ^{2} \\t_{2} =x^{2}$

Подставив значения t в эти уравнения мы найдем корни биквадратного уравнения.

Перейдем к решению:

1.  $x^{4} +3x^{2} -10=0$

  Вводим замену: $t=x^{2}$

    $t\geq 0$

   $t^{2} +3t-10=0$

   $D=3^{2} -4*1*(-10)=9+40=49\\\\t_{1} =\frac{-3+\sqrt{49} }{2} =2\\\\t_{2}=\frac{-3-\sqrt{49} }{2}= -5$

  -5 не подходит по условию задачи.

  ↓

    2=х²

     $x_{1} =\sqrt{2} \\x_{2} =-\sqrt{2}$

     $x_{1} +x_{2} =\sqrt{2} +(-\sqrt{2}) =0$

2.  $12y^{4} -y^{2} -1=0$

    Вводим замену:  $t=y^{2}$

     $t\geq 0$

     $12t^{2}-t-1=0$

     $D=1^{2} -4*1*(-12)=49\\\\t_{1} =\frac{1+\sqrt{49} }{2*12} =\frac{1}{3} \\\\t_{2} =\frac{1-\sqrt{49} }{2*12} =-\frac{1}{4}$

    - 1/4 не подходит по условию задачи.

    ↓

       $\frac{1}{3}=y^{2}\\\\y_{1} =-\frac{\sqrt{3} }{3} \\\\y_{2}= \frac{\sqrt{3} }{3}$

       $y_{1} +y_{2} =-\frac{\sqrt{3} }{3} +\frac{\sqrt{3} }{3}=0$