Question

2. Решите неравенство​

Answer 1

Решите неравенство:

$\displaystyle 4\cos\bigg(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\bigg)+\sqrt{12}\geqslant0$

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

$\displaystyle 4\cos\bigg(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\bigg)+\sqrt{12}\geqslant0$

$\displaystyle \boldsymbol{4\cos\bigg(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\bigg)\geqslant - \sqrt{12} \: | : 4}$

$\displaystyle \boldsymbol{\cos\bigg(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\bigg)\geqslant - \frac{\sqrt{12}}{4} }$

$\displaystyle\boldsymbol{ \cos\bigg(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\bigg)\geqslant - \frac{ \not2\sqrt{3}}{ \not4} }$

$\displaystyle \boldsymbol{\cos\bigg(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\bigg)\geqslant - \frac{\sqrt{3}}{ 2} \: \Rightarrow \: \cos x \geqslant - \frac{ \sqrt{3} }{2} }$

Рассмотрим единичную окружность.

• На оси Ох отметим -√3/2(синяя точка). По условию нас интересуют значения косинуса, большие -√3/2(зелёная область). Найдем дуги, которые нам соответствуют (красная дуга). На окружности есть 2 серии точек, в которых косинус равен -√3/2( красные точки). Запишем все это дело в виде двойного неравенства, учитывая период косинуса.

$\displaystyle \boldsymbol{ - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leqslant \bigg( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} \bigg) \leqslant \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n }$

$\displaystyle \boldsymbol{ - \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leqslant \frac{x}{3} \leqslant \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2 \pi n }$

$\displaystyle \boldsymbol{ - \frac{13\pi}{12} + 2\pi n \leqslant \frac{x}{3} \leqslant \frac{7\pi}{12} + 2 \pi n \: | *3 }$

$\displaystyle \boldsymbol{ - \frac{13\pi}{4} + 6\pi n \leqslant x\leqslant \frac{7\pi}{4} +6 \pi n }$

$\displaystyle OTBET: \boldsymbol{ x \in\bigg[ - \frac{13\pi}{4} + 6\pi n ; \frac{7\pi}{4} +6 \pi n } \bigg]$