Question

Можете,пожалуйста, помочь. С объяснением! Кстати, в каких случаях ОДЗ надо писать, а в каких не надо?​

Answer 1

Ответ: $x \in (-\infty ~ ; ~ -2,5]$

Объяснение:

$\sqrt{4x^2 - 4 x + 1} -\sqrt{4x^2 + 20x + 25 } = 6$

Заметим , что под корнем представлены полные квадраты :

$\sqrt{(2x)^2 - 2\cdot x\cdot 1 + 1^2} -\sqrt{(2x)^2 + 2\cdot 2x\cdot 5 + 5^2} = 6$

$\sqrt{(2x-1)^2} -\sqrt{(2x +5)^2} = 6$

ОДЗ здесь не нужно ,  главное вспомнить что

* √a²  =  |a|

И таким образом , мы получим модульное уравнение :

$|2x-1| -|2x +5| = 6$

$2x - 1 =0 \\\\ x = 0,5$       $2x + 5 =0 \\\\ x = -2,5$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.82,-0.2) {\sf -2,5} \put(0 ,0.09){ \Large ~~~~~I } \put(1.02 ,0.09){ \Large ~~~~~II } \put(2 ,0.09){ \Large ~~~~~III } \put(1,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(1,0){2}} \put(1.92,-0.2) {\sf 0,5} \put(2.05,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(-1,0){1} } \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \put(2.94,-0.15){\sf x} \end{picture}$

—                          —                            +                     2x  - 1

  —                          +                            +                   2x  + 5

$\hspace{-1,4em}\text{I} )~~ |2x-1| - |2x+5| = 6 \\\\ -(2x-1) -( -(2x+5) )= 6 \\\\ 6= 6$

Это означает , что уравнение имеет бесконечное множество  решений когда  x ∈ ( -∞ ; -2,5 )

$\hspace{-1,3em}~\text{II} )~~ |2x-1| - |2x+5| = 6 \\\\ -(2x-1) - (2x+5) = 6 \\\\ -4x- 4 = 6 \\\\ x= -2,5 ~ \checkmark , ~ x \in [ - 2,5 ~ ; ~ 0,5 ~)$

$\hspace{-1,4em}\text{III} )~~ |2x-1| - |2x+5| = 6 \\\\ (2x-1) - (2x+5) = 6 \\\\ -6 = 6 ~ \varnothing$

Объединив  решения  мы получим :

$x \in (- \infty ~ ;~ -2,5) \cup \{-2,5\} \\\\ \boxed{x \in (-\infty ~ ; ~- 2,5]}$