Ответы
Ответ:
Доказано требуемое.
Объяснение:
1) Если предположить, что нам задано стандартное скалярное произведение по формуле произведение длин на косинус угла между ними (в пространстве или
векторов на плоскости или в трехмерном пространстве), то утверждение следует из того, что модуль косинуса угла между векторами равен 1 тогда и только тогда, когда угол равен нулю (векторы сонаправлены) или
(противоположно направлены).
2) Если же под скалярным произведением понимается симметричная положительно определенная билинейная форма, заданная на линейном пространстве над полем действительных чисел (и тем самым превращающая линейное пространство в евклидово пространство), надо немного поработать.
Первый случай - если хотя бы один из векторов нулевой. Тогда неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство 0=0. При этом, если мы имеем равенство
если
то
Второй случай - когда оба вектора ненулевые. Если , то
Если же ни при каком
то
при всех
поэтому квадратный трехчлен относительно
при всех что равносильно отрицательности дискриминанта:
Вывод: равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы (то есть или
или
). Формулировка в условии задания не вполне корректна, впрочем, в большинстве книг пишут именно так.
3) Над полем комплексных чисел утверждение также справедливо, но скорее всего автору задания требуется поле действительных чисел, поэтому этот случай рассматривать не будем.