Question

Знайдіть кількість усіх цілих розв‘язків нерівності: (з розв‘язком будь ласка )
log 1/4 (x^2+6x)≥-2

Answer 1

Ответ:

4 целых решения

Пошаговое объяснение:

$log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq -2$

Находим сначала область определения функции:

$x^2+6x > 0\\x(x+6) > 0$

      +             -            +

\\\\\\\\\\\\\\(-6)_____(0)\\\\\\\\

$x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)$

Продолжаем решение:

$log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq -2\\\\ log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})^{-2}\\\\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq log_{\frac{1}{4}} 4^2\\\\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq log_{\frac{1}{4}} 16\\\\0 < \frac{1}{4} < 1\\\\x^2+6x\leq 16\\\\x^2+6x-16\leq 0$

По теореме Виета легко найти корни:

$\left \{ {{x_1x_2=-16} \atop {x_1+x_2=-6}} \right.= > x_1=-8;\; x_2=2$

$x^2+6x-16=(x+8)(x-2)$

$(x+8)(x-2)\leq 0$

  +                 -                  +

_____[-8] \\\\\\\\\\\\\\\\\ [2]_____

С учетом области определения, запишем решение неравенства:

$x\in[-8;-6)\cup(0;2]$

Выпишем только целые решения неравенства:

x∈{-8; -7; 1; 2} - всего их 4