Question

Площина трикутника MNK паралельна площині . Світло, що виходить із точки S, утворює на площині тінь від трикутника MNK. Обчислити площу трикутника MNK, якщо тінню є трикутник зі сторонами 65 см, 70 см, 75 см і SM : SM =2:3

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника MNK равна  $\displaystyle 933\frac{1}{3}$ см².

Объяснение:

Плоскость треугольника MNK параллельна плоскости α. Свет, исходящий из точки S, образует на плоскости тень от треугольника MNK. Вычислить площадь треугольника MNK, если тенью является треугольник со сторонами 65 см, 70 см, 75 см SM : SM₁ =2:3.

Дано: ΔMNK || α;

ΔM₁N₁K₁ - тень ΔMNK;

M₁N₁ = 70 см; N₁K₁ = 65 см; M₁K₁ = 75 см.

SM : SM₁ = 2 : 3;

Найти: S(ΔMNK).

Решение:

ΔMNK || α

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.

⇒ MN || M₁N₁; NK || N₁K₁; MK || M₁K₁.

1. Рассмотрим ΔMSK и ΔM₁SK₁.

MK || M₁K₁

• Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔMSK ~ ΔM₁SK₁

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{MK}{M_1K_1} =\frac{SM}{SM_1} =\frac{2}{3}$

2. Рассмотрим ΔMSN и ΔM₁SN₁.

MN || M₁N₁

⇒ ΔMSN ~ ΔM₁SN₁

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{MN}{M_1N_1} =\frac{SN}{SN_1}=\frac{SM}{SM_1} = \frac{2}{3}$

3. Рассмотрим ΔNSK и ΔN₁SK₁.

MK || M₁K₁

⇒ ΔNSK ~ ΔN₁SK₁

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{MK}{M_1K_1} =\frac{SN}{SN_1}= \frac{2}{3}$

4. Рассмотрим  ΔMNK и ΔM₁N₁K₁.

$\displaystyle \frac{MK}{M_1K_1}=\frac{MN}{M_1N_1}=\frac{MK}{M_1K_1} =\frac{2}{3}=k$

⇒ ΔMNK ~ ΔM₁N₁K₁ ( по трем пропорциональным сторонам).

• Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Найдем площадь ΔM₁N₁K₁ по формуле Герона:

• $\displaystyle S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , где р - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника.

р(ΔM₁N₁K₁) = (75 + 65 + 70) : 2 = 105 (см)

$\displaystyle S(\Delta{M_1N_1K_1})=\sqrt{105(105-75)(105-65)(105-70)} =\\\\=\sqrt{105\cdot30\cdot40\cdot35} =2100\;_{(CM^2)}$      

Найдем S(ΔMNK):

$\displaystyle \frac{ S(\Delta{MNK})}{ S(\Delta{M_1N_1K_1})} =k^2\\\\\\\frac{ S(\Delta{MNK})}{2100} =\frac{4}{9}\\\\ S(\Delta{MNK})=\frac{2100\cdot4}{9}=\frac{2800}{3}=933\frac{1}{3}\;_{(CM^2)}$

Площадь треугольника MNK равна  $\displaystyle 933\frac{1}{3}$ см².

#SPJ1