Ответы
Амплитуда - максимальное значение, которого достигает заряд пластины при колебаниях тока. Максимальное значение равно 8 нКл, т.е.
q_m = 8 нКл.
Период - это время, за которое происходит одно колебание. Одно колебание происходит тогда, когда насчитывается 4 амплитуды подряд:
1-я - с 8 нКл до 0 нКл
2-я - с 0 до -8
3-я - с -8 до 0
и 4-я - с 0 до 8
Период Т равен 4 мкс, т.е.
Т = 4 мкс
Частота - это количество колебаний в 1 секунду. Если одно колебание заряда получается за 4 мкс, то за 1 секунду он совершит:
1/4 = x/1000000 - пропорция, где 1000000 - это количество микросекунд в одной секунде. Выражаем икс:
x = (1/4)*1000000 = 250000 Гц.
Есть формула гораздо проще: частота - это обратное значение периода:
ν = 1/Τ = 1/0,000004 = 250000 Гц.
Заряд колеблется по гармоническому закону - это значит, что его зависимость от времени выражается через синус или косинус. В данном случае удобно использовать косинус, т.к. колебания начали фиксировать в тот момент, когда значение заряда было равно амплитудному (т.к. в начальный момент времени заряд имеет ненулевое значение, то графиком функции является косинусоида, т.е. кривая, которая не пересекает координатную плоскость в начале координат, в отличие от синусоиды). Можно взять и синус, но тогда надо указать фазу φ, в которой находился колебательный процесс, когда за ним стали наблюдать. Вот как это выражается математически:
q(t) = q_m*cos(ωt)
q(t) = q_m*sin(ωt + φ).
Фаза φ выражается в радианах. В данном случае она равна π/2. Почему. Период - это время цикла. Весьма созвучно с circle, что в переводе означает "круг". Полный оборот по кругу равен 360°, а в радианах - 2π. Так вот, если период - это время одного цикла, то половина периода - это время полуцикла (полукруга), а то есть такой части круга, такого углового поворота, который равен 2π/2 = π. Ну а время половины полуцикла - это, другими словами, время четверти цикла, т.е. такой части круга, такого углового поворота, который равен 2π/4 = π/2. По графику можно увидеть, что весь период можно разбить на 4 части (это как с тем, что мы говорили о 4-х амплитудах). Мы рассматриваем ось времени, которое измеряется в микросекундах, но каждая из 4-х частей периода имеет свой эквивалент, равный π/2. Если бы за процессом начали наблюдать тогда, когда значение заряда было бы равно нулю, то мы бы использовали такое уравнение:
q(t) = q_m*sin(ωt).
Но, как уже было сказано раньше, график синусоиды проходит через начало координат, а здесь, на этом графике, начало координат, скажем так, сдвинуто влево на π/2 (от того места где синусоида пересекает ось времени, когда t = 1 мкс). Или, если бы нам дали картинку с графиком, изображённым по обе стороны от оси заряда, оно было бы сдвинуто как влево, так и вправо. Вот и получается, что если мы считаем данный график синусоидой, то надо *скорректировать" уравнение. Если считаем косинусоидой, то всё и так согласуется, т.к. косинусоида не проходит через начало координат.
Что такое ω. Это циклическая частота. Вот то, что говорилось о цикле и радианах, в самом прямом смысле относится к этой величине. Круговая частота - это то, сколько циклов (кругов) совершается за 1 секунду. Отличие циклической частоты от обычной в том, что обычная частота говорит о количестве самих колебаний, а циклическая - о количестве циклов, за которые совершаются эти колебания. Циклы здесь измеряются в радианах, где полный цикл (круг, оборот) равен 2π. Поступим так же, как с частотой в герцах - определим круговую частоту пропорциями:
2π/4 = x/1000000
x = 2π*(1000000/4) = 2π*250000 = 500000*π рад/с
Ну и простые формулы:
ω = 2π/Τ
ω = 2πν.
Попробуем проверить записи закона. По графику в момент времени t = 3 мкс, заряд равен нулю. Подставим в наш закон синуса:
q(t) = q_m*sin(ωt + π/2)
q(t) = q_m*sin(2πt/T + π/2)
q(t) = q_m*sin(π(2t/T + 1/2))
q(t) = q_m*sin(2π(t/T + 1/4))
q(t = 3*10^-6 c) = 8*sin(2π(3*10^-6/(4*10^-6) + 1/4))
q(t = 3*10^-6 c) = 8*sin(2π(3/4 + 1/4))
q(t = 3*10^-6 c) = 8*sin(2π), где sin(2π) = 0 =>
=> q(t = 3*10^-6 c) = 0.
По закону косинуса:
q(t) = q_m*cos(ωt)
q(t) = q_m*cos(2πt/Τ)
q(t) = q_m*cos(2π(t/T))
q(t = 3*10^-6 c) = 8*cos(2π(3*10^-6/(4*10^-6))
q(t = 3*10^-6 c) = 8*cos(2π(3/4))
q(t = 3*10^-6 c) = 8*cos(3π/2), где cos(3π/2) = 0 =>
=> q(t = 3*10^-6 c) = 0.