Question

Помогите пожалуйста решить номер 3 ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Докажем, что $\|x\|_1=\sum\limits_{k=1}^n|x_k|$ является нормой в $R^n,$ то есть удовлетворяет всем свойствам нормы.

1)  $x=0\Rightarrow \|x\|_1=0;\ x\not= 0\Rightarrow \|x\|_1 > 0.$ Это свойство очевидно выполнено (если $x$ нулевой вектор, у него все координаты нулевые, а тогда и сумма модулей координат равна нулю; если вектор ненулевой, хотя бы одна его координата не равна нулю, а тогда и сумма модулей координат больше нуля).

2) $\|\lambda x\|_1=|\lambda|\cdot \|x\|_1.$ Это свойство также очевидно:

$\|\lambda x\|_1=\sum\limits_{k=1}^n|\lambda x_k|=\sum\limits_{k=1}^n|\lambda|\cdot |x_k| =|\lambda|\sum\limits_{k=1}^n|x_k|=|\lambda|\cdot \|x\|_1.$

3) $\|x+y\|_1\le \|x\|_1+\|y\|_1.$ Доказательство и этого свойства не должно вызывать затруднений - по крайней мере у тех, кто знает неравенство треугольника для чисел $|a+b|\le |a|+|b|:$

$\|x+y\|_1=\sum\limits_{k=1}^n|x_k+y_k|\le\sum\limits_{k=1}^n(|x_k|+|y_k|)= \sum\limits_{k=1}^n|x_k|+\sum\limits_{k=1}^n|y_k|=\|x\|_1+\|y\|_1.$

Вторая часть решения сводится к доказательству того, что сходимость по этой норме равносильна покоординатной сходимости.

1) Пусть $\lim\limits_{p\to \infty}x^p=y$в смысле выбранной нормы, то есть

$\lim\limits_{p\to \infty}\|x^p-y\|_1=0$ (верхний индекс здесь не показатель степени,  $x^p -$ это $p$-ый член последовательности). Иными словами,

$\forall \epsilon > 0\ \exists N:\ \forall p > N\Rightarrow \|x^p-y\|_1=\sum\limits_{k=1}^n|x^p_k-y_k| < \epsilon.$

А тогда каждое слагаемое этой суммы меньше $\epsilon,$ что и дает покоординатную сходимость.

2) Пусть для каждого k (в пределах от 1 до n) выполнено

$\lim\limits_{p\to \infty}(x^p_k-y_k)=0,$ то есть

$\forall \epsilon > 0\ \exists N_k: \forall p > N_k\Rightarrow |x^p_k-y_k| < \frac{\epsilon}{n}.$

А тогда для всех $p > N=\max N_k$ выполнено

$\|x^p-y\|_1=\sum\limits_{k=1}^n|x^p_k-y_k| < n\cdot \frac{\epsilon}{n}=\epsilon,$

что и означает сходимость по выбранной норме.