Ответы
Ответ:
Объяснение:
Докажем, что является нормой в
то есть удовлетворяет всем свойствам нормы.
1) Это свойство очевидно выполнено (если
нулевой вектор, у него все координаты нулевые, а тогда и сумма модулей координат равна нулю; если вектор ненулевой, хотя бы одна его координата не равна нулю, а тогда и сумма модулей координат больше нуля).
2) Это свойство также очевидно:
3) Доказательство и этого свойства не должно вызывать затруднений - по крайней мере у тех, кто знает неравенство треугольника для чисел
Вторая часть решения сводится к доказательству того, что сходимость по этой норме равносильна покоординатной сходимости.
1) Пусть в смысле выбранной нормы, то есть
(верхний индекс здесь не показатель степени,
это
-ый член последовательности). Иными словами,
А тогда каждое слагаемое этой суммы меньше что и дает покоординатную сходимость.
2) Пусть для каждого k (в пределах от 1 до n) выполнено
то есть
А тогда для всех выполнено
что и означает сходимость по выбранной норме.