Question

Помогите решить задание 4 на фото

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} {\frac{1+2+...+n}{n^2} }$.

рассмотрим числитель $1+2+...+n$.

имеем арифметическую прогрессию, поскольку каждый последующий член больше предыдущего на одно и то же число (1).

в этой прогрессии $n_0=1, d=1$

по формуле суммы членов арифметической прогрессии получается, что:

$1+2+...+n=\frac{2n_0 +d(n-1)}{2}n= > \frac{2+n-1}{2}n=\frac{n+1}{2}n$.

подставим данное выражение в исходное:

$\lim_{n \to \infty} {\frac{\frac{n+1}{2}n }{n^2} }$;

упростим $\frac{\frac{n+1}{2}n }{n^2}$:

$\frac{\frac{n+1}{2}n }{n^2}=\frac{n+1}{2}n*\frac{1}{n^2} =\frac{n+1}{2n}$;

Таким образом, $\lim_{n \to \infty} {\frac{\frac{n+1}{2}n }{n^2} } = \lim_{n \to \infty} {\frac{n+1}{2n}}$.

$\lim_{n \to \infty} {\frac{n+1}{2n}}= \lim_{n \to \infty} {\frac{n(1+\frac{1}{n} )}{2n}}=\lim_{n \to \infty} {\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1+\frac{1}{\infty} }{2}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$.