Question

Ребят, алгебра!!! Это 2 часть моего вопроса по данным уравнениям)) Так же помогите решить с полным объяснением

Answer 1

Ответ:

4) Ответ: 15.

5)  Ответ: $\displaystyle arcsin\frac{1}{3} +2\pi k,\;k\in Z;\;\;\;x=\pi -arcsin\frac{1}{3}+ 2\pi k,\;k\in Z$

6) Ответ: $\displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z ;\;\;\;\frac{4\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z$

Объяснение:

Решить уравнения:

$\displaystyle 4)\;\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x+1}-6=0$

$\displaystyle 5)\;3\;cos^2x+7\;sin\;x-5=0$

$\displaystyle 6)\;cos\;2x-5\;cos\;x-2=0$

$\displaystyle 4)\;\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x+1}-6=0$

У нас корни четной степени.

• Подкоренное выражение неотрицательно.

ОДЗ: х + 1 ≥ 0   ⇒   х ≥ -1

Выполним замену переменной:

$\displaystyle \sqrt[4]{x+1}=t,\;\;\;t\geq 0$

Получим квадратное уравнение:

$\displaystyle t^2+t-6=0$

По теореме Виета:

$\displaystyle t_1=-3;\;t_2=2$

Так как t ≥ 0, то t₁ - посторонний корень.

Выполним обратную замену:

$\displaystyle \sqrt[4]{x+1}=2$

Возведем обе части уравнения в 4-ю степень:

$\displaystyle x+1=16\\\\x=15$

Проверим:

$\displaystyle \sqrt{15+1} +\sqrt[4]{15+1}-6=0\\ \\4+2-6=0$

Верно!

Ответ: 15.

$\displaystyle 5)\;3\;cos^2x+7\;sin\;x-5=0$

• Основное тригонометрическое тождество:
• sin²x + cos²x = 1

⇒ cos²x = 1 - sin²x

$\displaystyle \;3(1-sin^2x)+7\;sin\;x-5=0\\\\3-3\;sin^2x+7\;sin\;x - 5=0\;\;\;\;\;|\cdot(-1)\\\\3\;sin^2x-7\;sin\;x+2=0$

Выполним замену:

sin x = t

$\displaystyle 3t^2-7t+2=0\\\\D=49-24=25\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\sqrt{D}=5\\ \\t_1=\frac{7+5}{6}=2;\;\;\;\;\;t_2=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}$

Так как |sin x| ≤ 1, то t₁ - посторонний корень.

Выполним обратную замену:

$\displaystyle sin\;x=\frac{1}{3}\\ \\x=arcsin\frac{1}{3} +2\pi k,\;k\in Z\\\\x=\pi -arcsin\frac{1}{3}+ 2\pi k,\;k\in Z$

Ответ: $\displaystyle arcsin\frac{1}{3} +2\pi k,\;k\in Z;\;\;\;x=\pi -arcsin\frac{1}{3}+ 2\pi k,\;k\in Z$

$\displaystyle 6)\;cos\;2x-5\;cos\;x-2=0$

• Косинус двойного угла:
• cos 2x = 2cos²x - 1

$\displaystyle 2\;cos^2x-1-5\;cos\;x-2=0\\\\2\;cos^2x-5\;cos\;x-3=0$

Замена переменной:

$\displaystyle cos\;x=t,\;|t|\leq 1$

Получим квадратное уравнение:

$\displaystyle 2t^2-5t-3=0\\\\D=25+24=49\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\sqrt{D}=7\\ \\t_1=\frac{5+7}{4}=3;\;\;\;\;\;t_2=\frac{5-7}{4} =-\frac{1}{2}$

t₁ - посторонний корень.

Выполним обратную замену:

$\displaystyle cos\;x=-\frac{1}{2}\\ \\x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z \\\\x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z$

Ответ: $\displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z ;\;\;\;\frac{4\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z$