Question

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом альфа при вершині. Через основу трикутника проведено переріз перпендикулярно до протилежного бічного ребра, який утворює з площиною основи кута бетта. Висота піраміди дорівнює H і усі її бічні ребра рівні. Знайти площу перерізу. У відповідь записати значення площі перерізу, якщо a=60° b=30° H=4

Варіанти відповіді:

1)2
2)3
3)4
4)5
5)6
​

Answer 1

Ответ: S =  кв. ед.

Объяснение:

Плоскость BCD проходит под углом 30 градусов к плоскости основания АВС через катет ВС.

По условию все боковые рёбра равны, значит, вершина S проецируется на основание в середину гипотенузы АВ.

Грань ASВ при этом вертикальна.

Ребро AS перпендикулярно плоскости BCD.

По линии ребра плоскость имеет угол наклона φ.

= arctg(tg30°*cos60°) = arctg(√3/3)*(1/2) = arctg(√3/6) ≈

16,10211375   градуса.

Боковое ребро имеет угол γ наклона к основанию.

γ = 90 – φ = 73,89788625 градуса.

Тангенс этого угла равен 6/(√3) = 6√3/3 = 2√3.

По заданию высота пирамиды равна 4, тогда проекция бокового ребра на основание равна 4/(2√3) = 2/√3 = 2√3/3.

Получаем длину гипотенузы АВ, равной 2*2√3/3 = 4√3/3 ≈ 2,309401077.

В сечении получаем треугольник BCD.

Находим длины его сторон.

ВС = (4√3/3)*cos 30° = (4√3/3)*(√3/2) = 2.

BD = (4√3/3)*cos 16,10211375° ≈ 2,218800785.

Находим вертикальное расстояние h точки D от плоскости АВС.

h = BD*sin 16,10211375° = 0,615384615.

Проекция AD на основание равна:

ADо = h/tg γ = 0,615384615/(2√3) = 0,177646237.

Находим CDo по двум сторонам АС и  ADо и углу А.

АС = АВ*sin(90 – 60) = 4√3/3 *(1/2) = 2√3/3 ≈ 1,154700538.

CDo = √(AC² + ADo² - 2*AC*ADo*cos 60°) =

       = √((2√3/3)² + 0,177646237² - 2*(2√3/3)* 0,1776462370*cos 60°) =

√(1,333333333 + 0,031558185 - 0,205128205) =

 = √1,159763314 = 1,076923077.

Получаем CD = √(CDo² + h²) = √(1,076923077² + 0,615384615²) =

= √(1,1597633 +  0,378698225) = √1,538461538 ≈ 1,240347346.

Площадь сечения находим по формуле Герона.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Длины сторон:    

ВC      ВD                     CD

2      2,218800785          1,240347346

Полупериметр р = 2,729574066.

Площадь S = 1,230769231 кв. ед.

Полученный результат можно проверить по масштабному чертежу в программе GeoGebra.

Площадь проекции сечения равна 1,06588 кв. ед.

Площадь сечения равна:

Sсеч = Sпр/cos δ = 1,06588/0,866025 = 1,230772.

Этот результат довольно точно совпадает с полученным значением 1,230769231.

Во вложении даны 3 рисунка:

1 - общий вид пирамиды и сечения.

2 - вид на вертикальную грань пирамиды и след её сечения плоскостью, проходящей под углом 30 градусов к плоскости АВС через сторону ВС основания.

3 - план пирамиды и её сечения в масштабе на основе программы GeoGebra.

c349e9b0513ad788a88e9c5288c6263e.docx