Question

Найти непрерывность функций

y=2x^2+2

Answer 1

Пусть функция $f(x)=x^2+2$ определена на множестве E $Esubseteq |R$
Пусть $delta=frac{epsilon}{2x_0+1}$ где $x_0 in E$.
Понятно, что для любого $x$ на области $delta$ от $x_0$ (то есть: $x in (x_0-delta,x_0+delta)$) выполняется $|x+x_0|<|2x_0+ frac{delta}{2}|$.
Следовательно, для $delta<2$, выполняется $|x+x_0|<|2x_0+1|$.

$|(x^2+2)-(x_0^2+2)|=|x^2-x_0^2|=|x-x_0|cdot|x+x_0| < |x-x_0|cdot|2x_0+1| \ delta= frac{epsilon}{x_0+1} => |x^2-x_0^2|< |x-x_0|cdot|2x_0+1|<delta|2x_0+1|=epsilon$

Получили, что для любого $epsilon > 0$ есть $delta=frac{epsilon}{x_0+1}<1$, на области которой выполняется $|f(x)-f(x_0)|<epsilon$
(Проще говоря:
$forall epsilon>0 existsdelta>0 : |x-x_0|<delta bigwedge |f(x)-f(x_0)|<epsilon$). Следовательно - $lim_{x to x_0} f(x)=f(x_0)$.
Что и требовалось доказать.
Для $x_0=-1$ нужно отдельно доказать предел $lim_{x to -1} f(x)=f(-1)$.

Теперь в чём проблема самого вопроса: мы только что доказали непрерывность функции на любом подмножестве $|R$. Но! Множество натуральных чисел $|N$ тоже подмножество $|R$, значит $f:|N longrightarrow |R$ тоже непрерывна, получается - доказали что $f$ непрерывна на области определения? Известно, что $g(x) frac{1}{x}$ тоже непрерывна на области определения, но $g$, понятное дело, не определена на $|R$!
Потому вопрос, ИМХО, поставлен не верно (претензия не к тебе, а скорее к преподавателям твоим). Правильно задать вопрос указывая то множесто точек, которое интересует: к примеру "непрерывна на $|R$" или, "непрерывна на отрезке $(x_0-a,x_0+a)$"...
Тем более, что есть понятие "равномерная непрерывность" - свойство области, а не так, как "непрерывность" - свойство точки. Отсюда и непонимание.
А то получается: спрашивают об области, а проверяют точку.
Будут вопросы - пиши.


P.S. Исправил ошибки в наборе символов. Текста много :)