Question

Помогите пожалуйста разобраться ​

Answer 1

Ответ:

$y={(x-2)}^{2}, y=4-x, y=0$

$\int\limits_{0}^{2}(4 - ( - 2 + x)^{2} - x)dx + \int\limits_{2}^{3}(4 - x)dx + \int\limits_{3}^{4} {( - 2 + x)}^{2} dx$

вычислим первый определённый интеграл:

$\int\limits_{0}^{2}4 - {( - 2 + x)}^{2} - x dx$

$\int4 - {( - 2 + x)}^{2} - xdx$

$\int4 - {(x - 2)}^{2} - xdx$

$\int4 - ({x}^{2} - 2x \times 2 + {2}^{2} ) - xdx$

$\int4 - ( {x}^{2} - 4x + 4) - xdx$

$\int4 - {x}^{2} + 4x - 4 - xdx$

$\int - {x}^{2} + 4x - 4 - 1xdx$

$\int - {x}^{2} + 3xdx$

$- \int {x}^{2} dx + \int3xdx$

находим первый неопределённый интеграл первого определённого интеграла:

$- \int {x}^{2} dx \\ - \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} \\ - \frac{ {x}^{3} }{3}$

находим второй неопределённый интеграл первого определённого интеграла:

$\int3xdx \\ 3 \times \int{xdx} \\ 3 \times \frac{ {x}^{2} }{2} \\ \frac{ {3x}^{2} }{2}$

получим:

$- \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {3x}^{2} }{2}$

$( - \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {3x}^{2} }{2} ){|}_{0}^{2}$

$- \frac{ {2}^{3} }{3} + \frac{3 \times {2}^{2} }{2} - ( - \frac{ {0}^{3} }{3} + \frac{3 \times {0}^{2} }{2} )$

$- \frac{8}{3} + 3 \times 2 - ( - \frac{0}{3} + \frac{3 \times 0}{2} )$

$- \frac{8}{3} + 6 - ( - 0 + \frac{0}{2} )$

$- \frac{8}{3} + 6 - 0$

$- \frac{8}{3} + 6$

$\frac{10}{3}$

вычислим второй определённый интеграл:

$\int\limits_{2}^{3} 4 - xdx$

$\int4 - xdx$

$\int4dx - \int{xdx}$

$4x - \frac{ {x}^{2} }{2}$

$(4x - \frac{ {x}^{2} }{2} ){|}_{2}^{3}$

$4 \times 3 - \frac{ {3}^{2} }{2} - (4 \times 2 - \frac{ {2}^{2} }{2} )$

$12 - \frac{9}{2} - (8 - 2)$

$12 - \frac{9}{2} - 6$

$6 - \frac{9}{2}$

$\frac{9 - 6}{2}$

$\frac{3}{2}$

вычислим третий определённый интеграл:

$\int\limits_{3}^{4} {( - 2 + x)}^{2} dx$

$\int {( - 2 + x)}^{2} dx$

$\int {(x - 2)}^{2} dx$

$\int {x}^{2} - 2x \times 2 + {2}^{2} dx$

$\int {x}^{2} - 4x + 4dx$

$\int {x}^{2} dx - \int4xdx + \int4dx$

найдём первый неопределённый интеграл третьего определённого интеграла:

$\int {x}^{2} dx \\ \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} \\ \frac{ {x}^{3} }{3}$

найдём второй неопределённый интеграл третьего определённого интеграла:

$\int4xdx \\ - 4 \times \int{xdx} \\ - 4 \times \frac{ {x}^{2} }{2} \\ - {2x}^{2}$

найдём третий неопределённый интеграл третьего определённого интеграла:

$\int4dx \\ 4x$

$\frac{ {x}^{3} }{3} - {2x}^{2} + 4x$

$( \frac{ {x}^{3} }{3} - {2x}^{2} + 4x){|}_{3}^{4}$

$\frac{ {4}^{3} }{3} - 2 \times {4}^{2} + 4 \times 4 - ( \frac{ {3}^{3} }{3} - 2 \times {3}^{2} + 4 \times 3)$

$\frac{64}{3} - 2 \times {2}^{4} + 16 - ( {3}^{2} - 2 \times {3}^{2} + 12)$

$\frac{64}{3} - {2}^{5} + 16 - ( - {3}^{2} + 12)$

$\frac{64}{3} - 32 + 16 - ( - 9 + 12)$

$\frac{64}{3} - 32 + 16 - 3$

$\frac{64}{3} - 19$

$\frac{7}{3}$

ПОЛУЧИМ:

$\frac{10}{3} + \frac{3}{2} + \frac{7}{3}$

$\frac{10 + 7}{3} + \frac{3}{2}$

$\frac{17}{3} + \frac{3}{2}$

$\frac{17 \times 2}{3 \times 2} + \frac{3 \times 3}{2 \times 3}$

$\frac{34}{6} + \frac{9}{6}$

$\frac{34 + 9}{6}$

$\frac{43}{6} ≈7.16$