Question

знайти кут між векторами ā (0;2;-2) і b (-1; -2:1) (ДУЖЕ ПОТРІБНО!!!)

Answer 1

Ответ:

Находим скалярное произведение векторов:

$\[\bar{a}\] \times \[\bar{b}\] = a_{x} \times b_{x}+a_{y} \times b_{y}+a_{z} \times b_{z} = 0 \times ( - 1) + 2 \times ( - 2) + ( - 2) \times 1 = 0 - 4 - 2 = - 6$

Находим длину(модуль) вектора:

$|\[\bar{a}\]| = \sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}+{{a}_{z}}^{2}} = \sqrt{ {0}^{2} + {2}^{2} + {( - 2)}^{2} } = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \times \sqrt{2}$

$\[\bar{ |b| }\] = \sqrt{{{b}_{x}} ^{2}+{{b}_{y}}^{2}+{{b}_{z}}^{2}} = \sqrt{ {( - 1)}^{2} + {( - 2)}^{2} + {1}^{2} } = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

Находим угол между векторами:

$\cos{ \alpha } = \frac{\[\bar{a}\]\times \[\bar{b}\]}{\[\bar{ |a| }\]\times \[\bar{ |b| }\]}$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 6}{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{6} }$

Сокращаем на общий делитель 2:

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3}{ \sqrt{2} \times \sqrt{6} }$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3}{ \sqrt{2 \times 6} }$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3}{ \sqrt{12} }$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3}{ \sqrt{4 \times 3} }$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3}{ \sqrt{ {2}^{2} \times 3 } }$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3}{ \sqrt{ {2}^{2} } \sqrt{3} }$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3}{2 \sqrt{3} }$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3}{2 \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3 \sqrt{3} }{2 \sqrt{3} \sqrt{3} }$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3 \sqrt{3} }{2 \times 3}$

$\cos{ \alpha } = \frac{ - 3 \sqrt{3} }{6}$

Сокращаем на общий делитель 3:

$\cos{ \alpha } = \frac{ - \sqrt{3} }{2}$

$\cos{ \alpha } = - \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$\alpha = 150° \\ a = 210°$

$\alpha=150°+360°k, k\in\Z \\ \alpha=210°+360°k, k\in\Z$