Question

Обчислити інтеграл.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits {\frac{14x}{x^2-14x+1} } \, dx=7\;ln|x^2-14x+1|+\frac{49}{4\sqrt{3} } \;ln\left|\frac{x-7-4\sqrt{3} }{x-7+4\sqrt{3} } \right|+C$

Пошаговое объяснение:

Вычислить интеграл:

$\displaystyle \int\limits {\frac{14x}{x^2-14x+1} } \, dx$

Заметим, что (х² - 14х + 1)' = 2x - 14

Преобразуем числитель:

$\displaystyle \int\limits {\frac{14x}{x^2-14x+1} } \, dx=\int\limits {\frac{7(2x-14+14)}{x^2-14+1} } \, dx =\\\\=7\int\limits {\frac{(2x-14)+14}{x^2-14x+1} } \, dx =7\int\limits {\frac{2x-14}{x^2-14x+1} } \, dx +7\cdot 14\int\limits {\frac{dx}{x^2-14x+1} }$

Вычислим отдельно каждый интеграл.

1. Первый интеграл:

$\displaystyle \int\limits {\frac{2x-14}{x^2-14x+1} } \, dx =$

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Замена переменной:

х² - 14х + 1 = t

(2x - 14) dx = dt

$\displaystyle \boxed { \int\limits {\frac{dx}{x} } =ln|x|+C}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle =\int\limits {\frac{dt}{t} } \, dx =ln|t|+C=ln|x^2-14x+1|+C$

2. Вычислим второй интеграл. Выделим в знаменателе полный квадрат:

$\displaystyle \int\limits {\frac{dx}{x^2-14x+49-49+1} } = \int\limits {\frac{dx}{(x-7)^2-48} }= \int\limits {\frac{dx}{(x-7)^2-(4\sqrt{3} )^2} }=$

$\displaystyle \boxed { \int\limits {\frac{dx}{x^2-a^2} } =\frac{1}{2a}ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C }$

$\displaystyle =\frac{1}{8\sqrt{3} } ln\left|\frac{(x-7)-4\sqrt{3} }{(x-7)+4\sqrt{3} } \right|+C$

3. Объединим решения:

$\displaystyle \int\limits {\frac{14x}{x^2-14x+1} } \, dx=7\;ln|x^2-14x+1|+98\cdot\frac{1}{8\sqrt{3} } \;ln\left|\frac{x-7-4\sqrt{3} }{x-7+4\sqrt{3} } \right|+C=\\\\\\\displaystyle =7\;ln|x^2-14x+1|+\frac{49}{4\sqrt{3} } \;ln\left|\frac{x-7-4\sqrt{3} }{x-7+4\sqrt{3} } \right|+C$