Question

1.Исследовать свойства и построить график функции (вместо А подставить 1)
2. Найти площадь фигуры ограниченной линиями (вместо В подставить 1)

помогите пожалуйста решить
40 баллов

Answer 1

Ответ:

1.

1) $D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$

2) функция нечетная.

3) График пересекает ось Ох в точке (0; 0)

4) x = ± 2 - вертикальные асимптоты. y = 0 - горизонтальная асимптота.

5)  функция убывает на промежутках: (-∞;-2); (-2;2); (2;+∞)

6) функция выпукла на промежутках: (-∞; -2); [0; 2),

функция вогнута на промежутках: (-2; 0]; (2; +∞)

2.

площадь фигуры, ограниченной линиями:

$\displaystyle y=e^x;\;\;\;y=\frac{1}{x+1} ;\;\;\;x=2;\;\;\;x=-1;\;\;\;y=0.$

равна $\displaystyle\bf \left(1-\frac{1}{e}+ln3\right)$  ед.²

Объяснение:

1. Исследовать свойства и построить график:

$\displaystyle y=\frac{x}{x^2-4}$

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

$\displaystyle y=e^x;\;\;\;y=\frac{1}{x+1} ;\;\;\;x=2;\;\;\;x=-1;\;\;\;y=0.$

1.   $\displaystyle y=\frac{x}{x^2-4}$

1) Область определения функции:

$\displaystyle x^2-4\neq 0 \;\;\;\Rightarrow \;\;\;x\neq \pm2$

$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$

2) Четность, нечетность.

$\displaystyle y(-x)=\frac{-x}{(-x)^2-4}=-\frac{x}{x^2-4}$

y(-x) = - y(x) ⇒ функция нечетная.

3) Нули функции.

$\displaystyle y=0;\;\;\;\frac{x}{x^2-4}=0;\;\;\;x=0$

График пересекает ось Ох в точке (0; 0)

4) Асимптоты.

Вертикальная:

$\displaystyle \lim_{x \to \pm2} \frac{x}{x^2-4} =\infty$

⇒ x = ± 2 - вертикальные асимптоты.

Наклонная у = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x^2-4)\cdot x} =0\\\\b=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x^2-4)} -0=0$

⇒ y = 0 - горизонтальная асимптота.

5) Возрастание, убывание.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle y'=\frac{1\cdot(x^2-4)-x\cdot 2x}{(x^2-4)^2} =-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}$

y' отрицательна при любых значениях х, в точках х = ±2 производная не существует.

$---(-2)---(2)---$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

⇒ функция убывает на промежутках: (-∞;-2); (-2;2); (2;+∞)

6) Выпуклость вогнутость.

Найдем производную второго порядка:

$\displaystyle y''=-\frac{2x(x^2-4)^2-(x^2+4)\cdot2(x^2-4)\cdot 2x}{(x^2-4)^4} =\\\\=-\frac{(x^2-4)(2x^3-8x-4x^3-16x)}{(x^2-4)^4} =-\frac{-2x^3-24x}{(x^2-4)^3} =\\\\=\frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$

Приравняем вторую производную к нулю и найдем корни.

х = 0; х ≠ ±2

Знаки на промежутках:

$---(-2)+++[0]---(2)+++$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

⇒ функция выпукла на промежутках: (-∞; -2); [0; 2),

функция вогнута на промежутках: (-2; 0]; (2; +∞)

Строим график.

2. $\displaystyle y=e^x;\;\;\;y=\frac{1}{x+1} ;\;\;\;x=2;\;\;\;x=-1;\;\;\;y=0.$

• Площадь фигуры найдем по формуле:

            $\displaystyle\bf S=\int\limits^b_a {(f_2(x)-f_1(x))} \, dx$

Слева функция ограничена прямой х = -1, справа х = 2, снизу у = 0.

Найдем точку пересечения первых двух функций:

$\displaystyle e^x=\frac{1}{x+1} \\\\e^x(x+1)=1$

Данное равенство верно только при х = 0

Изобразим данные графики. Искомая площадь состоит из двух площадей:

S = S₁ + S₂

Найдем S₁.

Здесь f₂(x) = eˣ; f₁(x) = 0; b = 0; a = -1

$\displaystyle S_1=\int\limits^0_{-1} {e^x} \, dx =e^x\bigg|^0_{-1}=e^0-e^{-1}=1-\frac{1}{e}$

Найдем S₂:

Здесь f₂(x) = 1/(x+1); f₁(x) = 0; b = 2; a = 0

$\displaystyle S_2=\int\limits^2_0 {\frac{1}{x+1} } \, dx =ln|x+1|\bigg|^2_0=ln3+ln1=ln3$

$\displaystyle\bf S=1-\frac{1}{e}+ln3$

#SPJ1