Question

Даша и Гоша играют в игру. Гоша более опытный в игре, шанс Гоше выиграть равен 60%, шанс Даше выиграть равен 40%. Они решили играть до тех пор, пока Даша не выиграет. Чему равно математическое ожидание количества сыгранных игр? Можете пожалуйста решить , и расписать методику подсчета , чтобы с помощью ее можно было бы решить задачу подобной данной .

Answer 1

Введем событие "Даша выиграла у Гоши".

Вероятность наступления этого события $p=0.4$.

Вероятность ненаступления этого события $q=1-p=0.6$.

Пусть число $X$ - количество сыгранных игр до первой победы Даши.

Случайная величина $X$ в этом случае называется геометрически распределенной. Составим ее закон распределения.

Если Даша выиграет в первой игре, то всего и будет проведена одна игра. Произойдет это с той вероятностью, с которой Даша может выиграть:

$P(X=1)=p$

Две игры произойдет в следующем случае: если в первой игре Даша проиграет, а во второй выиграет:

$P(X=2)=qp$

В общем случае, k игр будет проведено всего тогда, когда в первых (k-1) играх Даша проиграет, а в последней выиграет:

$P(X=k)=q^{k-1}p$

Таким образом, закон распределения:

$\begin{array}{ccccccc}X&1&2&3&\ldots&k&\ldots\\P(X)&p&qp&q^2p&\ldots&q^{k-1}p&\ldots\end{array}$

Математическое ожидание - это сумма попарных произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения достигаются.

$M(X)=1\cdot p+2qp+3q^2p+\ldots+kq^{k-1}p+\ldots$

$M(X)=p(1+2q+3q^2+\ldots+kq^{k-1}+\ldots)$

Задача сводится к тому, чтобы каким-то образом найти сумму, записанную в скобках. Данная сумма представляет собой сумму ряда, про который можно доказать, что он сходится, а затем определить его сумму. Но непосредственно этим рядом мы заниматься не будем.

Предположим, что в скобках записана некоторая функция от $q$:

$M(X)=p\cdot f(q)$

Рассмотрим функцию:

$f(q)=1+2q+3q^2+\ldots+kq^{k-1}+\ldots$

Проинтегрируем эту функцию:

$F(q)=\int(1+2q+3q^2+\ldots+kq^{k-1}+\ldots)dq$

$F(q)=q+q^2+q^3+\ldots+q^k+\ldots$

Заметим, что в последнем выражении записана сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, равными $q$. Тогда, запишем:

$F(q)=\dfrac{q}{1-q}$

Получилось довольно удобное выражение.

Остается продифференцировать функцию $F(q)$, чтобы вернуться к функции $f(q)$:

$f(q)=\left(\dfrac{q}{1-q} \right)'=\dfrac{q'\cdot(1-q)-q\cdot(1-q)'}{(1-q)^2} =\dfrac{1\cdot(1-q)-q\cdot(-1)}{(1-q)^2} =\dfrac{1}{(1-q)^2}$

Вернем к выражению для мат.ожидания и подставим полученное выражение для функции:

$M(X)=p\cdot f(q)$

$M(X)=p\cdot\dfrac{1}{(1-q)^2}$

Учитывая, что $1-q=p$:

$M(X)=p\cdot\dfrac{1}{p^2}$

$\boxed{M(X)=\dfrac{1}{p}}$

Если подразумевается, что формула для мат.ожидания геометрически распределенной случайной величины известна, то, конечно, ее можно сразу использовать.

Остается подставим численное значение вероятности:

$M(X)=\dfrac{1}{0.4} =2.5$

Ответ: 2.5