Даша и Гоша играют в игру. Гоша более опытный в игре, шанс Гоше выиграть равен 60%, шанс Даше выиграть равен 40%. Они решили играть до тех пор, пока Даша не выиграет. Чему равно математическое ожидание количества сыгранных игр? Можете пожалуйста решить , и расписать методику подсчета , чтобы с помощью ее можно было бы решить задачу подобной данной .
![](https://st.uroker.com/files/061/061328de187d621b1c2a19d6189746f8.png)
Ответы
Введем событие "Даша выиграла у Гоши".
Вероятность наступления этого события .
Вероятность ненаступления этого события .
Пусть число - количество сыгранных игр до первой победы Даши.
Случайная величина в этом случае называется геометрически распределенной. Составим ее закон распределения.
Если Даша выиграет в первой игре, то всего и будет проведена одна игра. Произойдет это с той вероятностью, с которой Даша может выиграть:
Две игры произойдет в следующем случае: если в первой игре Даша проиграет, а во второй выиграет:
В общем случае, k игр будет проведено всего тогда, когда в первых (k-1) играх Даша проиграет, а в последней выиграет:
Таким образом, закон распределения:
Математическое ожидание - это сумма попарных произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения достигаются.
Задача сводится к тому, чтобы каким-то образом найти сумму, записанную в скобках. Данная сумма представляет собой сумму ряда, про который можно доказать, что он сходится, а затем определить его сумму. Но непосредственно этим рядом мы заниматься не будем.
Предположим, что в скобках записана некоторая функция от :
Рассмотрим функцию:
Проинтегрируем эту функцию:
Заметим, что в последнем выражении записана сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, равными . Тогда, запишем:
Получилось довольно удобное выражение.
Остается продифференцировать функцию , чтобы вернуться к функции
:
Вернем к выражению для мат.ожидания и подставим полученное выражение для функции:
Учитывая, что :
Если подразумевается, что формула для мат.ожидания геометрически распределенной случайной величины известна, то, конечно, ее можно сразу использовать.
Остается подставим численное значение вероятности:
Ответ: 2.5
Можно было отметить, что f(x)-x*f(x)=1+x+x^2+... - не что иное, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия для |x|<1.
Соответственно, f(x)*(1-x)=1/(1-x) и f(x)=1/(1-x)^2