Ответы
Так как векторы p и q взаимно перпендикулярны то переведём их в координатный вид. p = (4; 0), q = (0; 2).
Теперь находим:
a = p + 2q, p = (4; 0), 2q = (0; 4).
a= (4+0; 0 + 4) = (4; 4).
b = 3p - q , 3p = (12; 0), -q = (0; -2)
b = (12-0; 0 - 2) = (12; -2).
1)Длины диагоналей находим как модули векторов
d1 = ВС = a – b = (4-12; 4-(-2)) = (-8; 6).
Длина равна √(64 + 36) = √100 = 10.
d2 = АД = a + b = (4+12; 4+(-2)) = (16; 2).
Длина равна √(256 + 4) = √260 = 2√65 ≈ 16,1245.
2) Находим угол между векторами а = (4; 4) и b = (12; -2).
Модули векторов равны:
|a| = √(4² + 4²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.
|b| = √(12² + (-2)²) = √(144 + 4) = √148 = 2√37.
cos(a_b) = (4*12 + 4*(-2))/( 4√2*2√37) = 40/(8√74) = 5√74/74.
Угол равен arc cos(5√74/74) = 0,95055 радиан или 54,46232 градуса.
3) Площадь параллелограмма на векторах равна модулю их векторного произведения.
i j k | i j
4 4 0 | 4 4
12 -2 0 | 12 -2 = 0i + 0j – 8k – 0j – 0i – 48k =
= 0i + 0j – 56k.
S = |-56| = 56 кв. ед.
Проверяем решение по другой формуле.
S = a*b*sin(a_b) = 4√2*2√37*√(1 – (5√74)²) = 8√74*√(49/74) = 56.