Question

21. Компания придумывает слоган из 3 предложений. Они придумали пять разных “важных” слов. В каждом предложении должно быть использовано минимум одно, максимум три из этих слов. Каждое важное слово можно использовать не больше одного раза. Не обязательно использовать все важные слова. Если последовательность важных слов внутри предложения не важна, сколькими различными способами можно составить слоганы?

Answer 1

Пусть группа слов - это одно или два или три важных слова, которые встречаются в одном предложении. Тогда, в лозунге используется в каком-то порядке три группы слов.

Решим задачу следующим образом: сначала определим общее количество возможных наборов групп (неупорядоченных в рамках слогана), а затем умножим это количество на число способов упорядочить эти группы по трем предложениям в слогане.

Определяем общее количество возможных наборов групп. Возможны три ситуации:

1. Будет использовано 5 важных слов.

2. Будет использовано 4 важных слова.

3. Будет использовано 3 важных слова.

1. Если используется 5 важных слов, то на 3 группы они могут быть распределены (без учета порядка) двумя способами:

- либо {3 слова, 1 слово, 1 слово}

- либо {2 слова, 2 слова, 1 слово}

Первый способ: чтобы разбить слова на группы {3, 1, 1}, необходимо выбрать некоторые 3 слова из 5, которые будут составлять одну группу. Число способов это сделать:

$N_{11}=C_5^3=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{1\cdot2\cdot3} =10$

Второй способ: чтобы разбить слова на группы {2, 2, 1}, сначала выберем одно слово, которое будет составлять свою собственную группу - сделать это можно 5 способами. Оставшиеся 4 слова можно разбить по парам 3 способами (первому слову поставить в пару второе, или третье, или четвертое). Два сделанных выбора независимы, значит число групп, соответствующее этому способу:

$N_{12}=5\cdot3=15$

2. Если используется 4 важных слова, то сначала нужно определить, какие именно из 5 слов будут использоваться. Сделать это можно 5 способами (указать, какое из 5 слов не будет использоваться). Далее, заметим, что этой ситуации соответствует единственный набор групп:

- {2 слова, 1 слово, 1 слово}

Значит, из 4 выбранных слов нужно выбрать 2, которые образуют одну группу. Сделать это можно $C_4^2$ способами. Определим, сколько групп соответствует этой ситуации:

$N_2=5\cdot C_4^2=5\cdot\dfrac{4\cdot3}{2} =30$

3. Если используется 3 важных слова, то сначала нужно определить, какие именно из 5 слов будут использоваться. Сделать это можно $C_5^3$ способами. Этой ситуации соответствует единственный набор групп:

- {1 слово, 1 слово, 1 слово},

которые образуется автоматически, если выбрано всего 3 слова. Общее число соответствующих этой ситуации групп:

$N_3=C_5^3=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{1\cdot2\cdot3} =10$

Определяем общее количество возможных наборов групп:

$N=N_{11}+N_{12}+N_2+N_3=10+15+30+10=65$

Набор групп представляет собой 3 группы, которые можно упорядочить $3!$ способами. Значит, общее количество слоганов:

$65\cdot3!=65\cdot6=390$

Ответ: 390