Question

В треугольнике АВС проведено биссектрисы AD и BE. Оказалось, що DE - биссектриса треугольника ADC. Найти угол ВАС.

Пожалуйста, помогите с олимпиадной задачей. Три часа ломаю мозг и не могу прийти к какому-то выводу. Даю 20 баллов

Answer 1

Ответ:

$120^{\circ}$

Пошаговое объяснение:

На олимпиаде обычно предполагается знание формул, возможно, не входящих в стандартную школьную программу.

Мне понадобятся такие формулы:

-  длина биссектрисы AD равна

                                    $AD=\dfrac{2AB\cdot AC\cos \frac{A}{2}}{AB+AC};$

- биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам:

                                   $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC};\ \ \ \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AD}{DC};$

- длина отрезков BD и DC, на которые биссектриса AD делит сторону BC, равна

                            $BD=\dfrac{BC\cdot AB}{AB+AC};\ \ \ DC=\dfrac{BC\cdot AC}{AB+AC}$

(последние формулы легко выводятся из предыдущей теоремы).

Отсюда

        $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DC};\ \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\frac{2AB\cdot AC\cdot \cos\frac{A}{2}}{AB+AC}}{\frac{BC\cdot AC}{AB+AC}};\ \cos\frac{A}{2}=\frac{1}{2};\ \dfrac{A}{2}=60^{\circ};\ A=120^{\circ}.$