Question

Найти наименьшее значение x^2 + у^2, если х^2 - у^2 + 6х + 4у + 5 = 0

Вроде легко, но мой ответ не совпал с правильным. Почему не 13?

Answer 1

Ответ:

0,5

Пошаговое объяснение:

                  $x^2-y^2+6x+4y+5=0;\ (x+3)^2-(y-2)^2=0;$

             $(x+3-y+2)(x+3+y-2)=0;\ \left [ {{x-y+5=0} \atop {x+y+1=0}} \right.;\ \left [ {{y=x+5} \atop {y=-x-1}} \right. .$

Это условие задает пару прямых.

Заметим, что $x^2+y^2$   - это квадрат расстояния от точки (x;y) до начала координат. Поэтому задача сводится к нахождению точки, наиболее близкой к началу координат O(0;0). Первая прямая пересекает оси координат в точках A(0;5) и B(-5;0). Ближайшая к началу координат точка на ней  - это середина C(-2,5;2,5) отрезка [A;B]. Аналогично находится ближайшая к началу координат точка D(-0,5;-0,5) на второй прямой. Очевидно, она находится ближе к  O, чем точка C. Остается найти сумму квадратов координат точки D:                

                            $(-0,5)^2+(-0,5)^2=0,5.$