Question

a) Докажите равносильность неравенств: 5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x>0 и 5tg^2x-3tgx-2>0
b) Используя результаты предыдущего пункта, решите неравенств 5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x>0

Answer 1

а)

$5\sin ^2x-3\sin x\cos x-2\cos ^2x>0\\</p><p>5\tan ^2x-3\tan x-2>0$

разделив первое неравенство на

$\cos^{2} x$

получаем второе неравенство

b)

Так как данное неравенство равносильно

$5\tan ^2x-3\tan x-2>0$

то заменив

$\tan(x) = y$

получаем

$5 {y}^{2} - 3y - 2 > 0$

корни равны

$1$

и

$\dfrac{ - 2}{5}$

то находим что

$y\in (-\infty;\dfrac{-2}{5})\cup(1;+\infty)$

$\tan(x) \in (-\infty;\dfrac{-2}{5})\cup(1;+\infty)$

тогда

$\tan(x) > 1 \\ \tan(x) < \dfrac{ - 2}{5}$

тогда

$x \in( \dfrac{\pi}{4} + \pi k; \dfrac{\pi}{2}+\pi k)$

$x\in(\dfrac{\pi}{2}+\pi n; \arctan (\dfrac{-2}{5})+\pi n)$

тогда

$x\in(\dfrac{\pi}{2}+\pi n; \arctan (-0.4)+\pi n)$