Терміново потрібно!!!
У трикутнику, заданому вершинами A, B і C, знайти:
1) рівняння і довжину медіани АМ, проведеної з вершини А;
2) рівняння і довжину висоти АN, проведеної з вершини А;
3) знайти гострий кут між медіаною АМ і висотою АN.
A(4;4), B(7;16), C(13;8).
Ответы
Відповідь була дана нейронною мережої(GPT3), тому перевірте правильність.
Відповідь:
Щоб знайти рівняння і довжину медіани АМ, спочатку знайдем координати точки М, яка є серединою відрізка AB. Розрахуємо середнє арифметичне координат точок A і B:
M(x;y) = ((4+7)/2; (4+16)/2) = (5.5; 10)
Тепер можемо знайти рівняння прямої, що проходить через точки A і M. Для цього використаємо формулу для знаходження коефіцієнта нахилу прямої:
k = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (10 - 4)/(5.5 - 4) = 3
Тепер можемо знайти рівняння прямої, що проходить через точку A і має коефіцієнт нахилу k:
y - y1 = k(x - x1)
y - 4 = 3(x - 4)
y = 3x - 8
Таким чином, рівняння медіани АМ має вигляд y = 3x - 8.
Далі розрахуємо довжину медіани АМ. Для цього використаємо теорему Піфагора:
AM = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((5.5 - 4)^2 + (10 - 4)^2) = √(1.5^2 + 6^2) = √(9 + 36)= √45 = 6.7
Таким чином, довжина медіани АМ становить 6.7.
Щоб знайти рівняння і довжину висоти АN, потрібно знайти точку N, що лежить на стороні BC так, щоб вона була перпендикулярна стороні BC та проходила через точку A.
Щоб знайти точку N, необхідно спочатку знайти рівняння прямої, що проходить через точки B і C. Для цього використаємо формулу для знаходження коефіцієнта нахилу прямої:
k = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (8 - 16)/(13 - 7) = -8/6 = -4/3
Тепер можемо знайти рівняння прямої, що проходить через точку B і має коефіцієнт нахилу k:
y - y1 = k(x - x1)
y - 16 = (-4/3)(x - 7)
y = (-4/3)x + 28/3
Таким чином, рівняння прямої BC має вигляд y = (-4/3)x + 28/3.
Тепер розрахуємо рівняння прямої AN, яка є перпендикулярною стороні BC і проходить через точку A. Для цього знайдем коефіцієнт нахилу прямої AN із зворотним значенням, ніж у прямій BC:
k' = -1/k = -1/(-4/3) = 3/4
Тепер можемо знайти рівняння прямої AN, що проходить через точку A і має коефіцієнт нахилу k':
y - y1 = k'(x - x1)
y - 4 = (3/4)(x - 4)
y = (3/4)x - 3
Таким чином, рівняння висоти АN має вигляд y = (3/4)x - 3.
Далі розрахуємо довжину висоти АN. Для цього використаємо теорему Піфагора:
AN = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((4 - 4)^2 + (4 - 4)^2) = √(0 + 0) = 0
Таким чином, довжина висоти АN становить 0.
Щоб знайти гострий кут між медіаною АМ і висотою АN, необхідно знайти коефіцієнти нахилу k1 та k2 для медіани АМ та висоти АN, відповідно. Для цього використаємо формулу для знаходження коефієнта нахилу прямої:
k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (10 - 4)/(5.5 - 4) = 3
k2 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (4 - 4)/(4 - 4) = 0
Тепер можемо знайти гострий кут між медіаною АМ і висотою АN за допомогою формули:
cos(a) = (k1k2 + 1)/(√(k1^2 + 1) * √(k2^2 + 1)) = (30 + 1)/(√(3^2 + 1) * √(0^2 + 1)) = 1/3
Таким чином, гострий кут між медіаною АМ і висотою АN становить cos(a) = 1/3. Для того, щоб отримати значення кута у градусах, необхідно знайти арккосинус цього коефіцієнта із допомогою функції arccos:
a = arccos(cos(a)) = arccos(1/3) ≈ 70.5 градусів
Таким чином, гострий кут між медіаною АМ і висотою АN становить 70.5 градусів.