Question

апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см а двухгранный угол при основании равен 60 найти объем пирамиды

Answer 1

Опустим высоту BC (см.рис.). Треугольник ABC - прямоугольный, т.к. BC - высота, AB = 4 см, угол A = 60 градусов. Причём AC - радиус вписанной в основание окружности, т.к. основание - правильный треугольник, а пирамида правильная (вершина проецируется в центр основания).
Из тр-ка ABC по определениям синуса и косинуса
$sin A=frac{BC}{AB}Rightarrow BC=ABcdotsin A=4cdotfrac{sqrt3}2=2sqrt3\cos A=frac{AC}{AB}Rightarrow AC=ABcdotcos A=4cdotfrac12=2$
Площадь основания
$S=3sqrt3r^2=3sqrt3frac14=frac{3sqrt3}4$
Найдём объём пирамиды:
$V=frac13Sh=frac13cdotfrac{3sqrt3}4cdot2sqrt3=frac32=1,5$