Чисельник дробу на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника додати 11, а від знаменника відняти 2, то одержимо дріб обернений до даного. Знайдіть данний дріб.
Ответы
Якщо чисельник дробу на 5 менший від знаменника, то можемо записати цей дріб у вигляді a/b, де a < b.
Після того, як до чисельника додано 11, а від знаменника віднято 2, отримаємо новий дріб (a+11)/(b-2). Якщо цей дріб обернений до даного, то оберненим до нього буде дріб (b-2)/(a+11).
Визначаємо спільні множники цих двох дробів: (b-2)/(a+11) = 1/(a/b) = b/a. Тобто, (b-2)/a = b/(a+11). Виразуючи a, отримаємо a = (b-2)b/(b+11).
Підставляємо умову a < b:
(b-2)b/(b+11) < b
(b-2)b < b(b+11)
b^2 - 2b < b^2 + 11b
-13b < 0
b > 0.
Так як b - це знаменник дробу, то b > 0. Значить, умова a < b виконується тільки тоді, коли b > 11.
Повертаємося до рівняння a = (b-2)b/(b+11). При b > 11 це рівняння має розв'язок a < b. Цей розв'язок є єдиним, так як у умові задачі вказано, що чисельник дробу на 5 менший від знаменника, тобто a < b/5.
Таким чином, остаточний вигляд даного дробу має бути таким: a/b = (b-2)b/(b+11), де b > 11 і a < b/5.
Наприклад, при b = 12 отримаємо дріб 10/12, а при b = 13 - 6/13.
У цьому випадку даний дріб - це найменший дріб, який відповідає умовам задачі.