Question

У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ=ВС) медіана ВК дорівнює 14 см. Бісектриса кута А ділить сторону ВС у відношенні 5:4, рахуючи від вершини В. Знайдіть радіус вписаного кола трикутника АВС.

Answer 1

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен 4 см.

Объяснение:

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) медиана ВК равна 14 см. Биссектриса угла А делит сторону ВС в отношении 5:4, считая от вершины В. Найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС.

Дано: ΔАВС - равнобедренный (АВ = ВС);

ВК - медиана; АМ - биссектриса;

ВМ : МС = 5 : 4

Найти: r - радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус вписанной окружности найдем по формуле:

$\boxed {\displaystyle \bf r=\frac{2S}{a+b+c} }$ ,

где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.

Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

АМ - биссектриса.

ВМ : МС = 5 : 4

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

⇒  ВМ : МС = АВ : АС = 5 : 4

Пусть АВ = 5х см, тогда АС = 4х см.

ВК - медиана

⇒ АК = КС = 2х см.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

⇒ ВК - высота.

Рассмотрим ΔАВК - прямоугольный.

Теорема Пифагора:

• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

⇒ АВ² = ВК² + АК²

25х² = 196 + 4х²

21х² = 196

$\displaystyle \bf x^2=\frac{196}{21 } \\\\x=\pm\frac{14}{\sqrt{21} }$

Отрицательное значение не подходит по условию задачи.

⇒   $\displaystyle \bf x=\frac{14}{\sqrt{21} }$

Стороны треугольника равны:

$\displaystyle \bf AB=BC=5x=\frac{5\cdot 14}{\sqrt{21} } =\frac{70}{\sqrt{21} }$  (см)

$\displaystyle \bf AC=4x=\frac{4\cdot14}{\sqrt{21} }=\frac{56}{\sqrt{21} }$  (см)

Найдем периметр - сумму длин всех сторон.

$\displaystyle \bf P=AB+BC+AC=\frac{70}{\sqrt{21} } +\frac{70}{\sqrt{21} } +\frac{56}{\sqrt{21} } =\frac{196}{\sqrt{21} }$  (см)

Стороны нашли. Найдем площадь.

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

$\displaystyle \bf S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BK= \frac{1}{2}\cdot \frac{56}{\sqrt{21} } \cdot 14=\frac{392}{\sqrt{21} }$  (см²)

Можем найти радиус вписанной окружности:

$\displaystyle \bf r=\frac{2\cdot \frac{392}{\sqrt{21} } }{\frac{196}{\sqrt{21} } } =\frac{2\cdot 392\cdot \sqrt{21} }{196\cdot \sqrt{21} } =4$   (см)

Радиус вписанной окружности равен 4 см.

#SPJ1