Question

Решить интеграл, только не через онлайн калькулятор интегралов, там не то

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits {\frac{lnx\;dx}{x\sqrt{6+4lnx-ln^2x} } } \, dx=\\\\=-\sqrt{6+4lnx-ln^2x}+2\;arcsin\frac{lnx-2}{\sqrt{10} }+C$

Пошаговое объяснение:

Решить интеграл:

$\displaystyle \int\limits {\frac{lnx\;dx}{x\sqrt{6+4lnx-ln^2x} } } \, dx$

Замена переменной:

$\displaystyle lnx=t\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{dx}{x} =dt$

Получим:

$\displaystyle \int\limits {\frac{t\;dt}{\sqrt{6+4t-t^2} } } \, dt=-\frac{1}{2}\int\limits {\frac{-2t+4-4}{\sqrt{6+4t-t^2} } } \, dt } =\\\\=-\frac{1}{2} \int\limits {\frac{4-2t}{\sqrt{6+4t-t^2}} } \, dt-\frac{1}{2} \int\limits {\frac{-4}{\sqrt{6+4t-t^2}} } \, dt=\\ \\ =-\frac{1}{2} \int\limits {\frac{4-2t}{\sqrt{6+4t-t^2}} } \, dt+2 \int\limits {\frac{1}{\sqrt{6+4t-t^2}} } \, dt$

Решим отдельно каждый интеграл.

1.

$\displaystyle -\frac{1}{2} \int\limits {\frac{4-2t}{\sqrt{6+4t-t^2}} } \, dt$

Выполним еще одну замену переменной:

$\displaystyle 6+4t-t^2=y\\\\(4-2t)dt=dy$

Решим интеграл и выполним дважды обратную замену:

$\displaystyle -\frac{1}{2}\int\limits {\frac{dy}{\sqrt{y} } } =-\frac{1}{2}\cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}\cdot 2}{1} =-\sqrt{y}=-\sqrt{6+4t-t^2}=\\ \\ =-\sqrt{6+4lnx-ln^2x}+C$

2.

$\displaystyle 2 \int\limits {\frac{1}{\sqrt{6+4t-t^2}} } \, dt$

Выделим полный квадрат в знаменателе:

$\displaystyle 2 \int\limits {\frac{dt}{\sqrt{-(t^2-4t+4-4-6)}} } = 2 \int\limits {\frac{dt}{\sqrt{-((t-2)^2-10)}} } =\\\\=2 \int\limits {\frac{dt}{\sqrt{10-(t-2)^2)}} }$

Получили табличный интеграл. Решим его и выполним обратную замену:

$\displaystyle 2 \int\limits {\frac{dt}{\sqrt{10-(t-2)^2)}} }=2\;arcsin\frac{t-2}{\sqrt{10} } =\\\\=2\;arcsin\frac{lnx-2}{\sqrt{10} }+C$

Запишем ответ:

$\displaystyle \int\limits {\frac{lnx\;dx}{x\sqrt{6+4lnx-ln^2x} } } \, dx=\\\\=-\sqrt{6+4lnx-ln^2x}+2\;arcsin\frac{lnx-2}{\sqrt{10} }+C$