Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{(x+2)^2}{2}-\dfrac{y^2}{2}=1$

Объяснение:

Напомним, что каноническое уравнение гиперболы, чьи фокусы расположены на оси абсцисс, имеет вид

                                    $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1;\ \ a > 0;\ \ b > 0.$

Её асимптотами служат прямые $y=\dfrac{bx}{a}$  и $y=-\dfrac{bx}{a}.$ Центр (в этой точке пересекаются асимптоты) расположен в начале координат.   Фокусы расположены в точках (c;0) и (-c;0), где c ищется по формуле

                                               $c=\sqrt{a^2+b^2}.$

Естественно, про c можно сказать, что это расстояние от фокуса до центра.

По условию асимптоты нашей гиперболы имеют уравнения y=x+2 и y= - (x+2), которые пересекаются в точке (-2;0). Это центр гиперболы. Поскольку один из фокусов - точка F(0;0), -   также лежит на оси абсцисс, можно считать, что гипербола получена из канонической гиперболы сдвигом по оси OX на 2 единицы влево, то есть её уравнение будет выглядеть как

                                      $\dfrac{(x+2)^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1.$

Из уравнения асимптот заключаем, что a=b. При этом c, как расстояние от фокуса до центра, равно 2. Далее всё совсем просто:

                       $a^2+b^2=c^2\Rightarrow 2a^2=4;\ a=b=\sqrt{2}.$

Ответ:     $\dfrac{(x+2)^2}{2}-\dfrac{y^2}{2}=1$